WisFaq!

Gemiddelde

Als je Öab vergelijkt met ¹/₂(a+b)

Hoe kan je dan bewijzen dat voor alle getallen a en b geldt:
(a+b)² - (a-b)²=4ab?
En welk getal is dan het grootst; (a+b)² of 4ab?
en van ¹/₂(a+b) of Öab?
en wat weet je van a en b als de twee gemiddeldes gelijk zijn, dus:
¹/₂(a+b) = Öab

Alvast bedankt, Liefs

blue_eye
11-1-2005

Antwoord

Het eerste is toch vrij simpel. Wat zou je ervan denken om (a+b)² en (a-b)² eens gewoon uit te werken?
Je krijgt (a²+2ab+b²) - (a².....) en als je de haakjes wegwerkt krijg je direct de gewenste uitkomst 4ab.

De tweede vraag is bijkant nog eenvoudiger. Neem eens wat simpele keuzen voor a en b en vergelijk dan eens (a+b)² met 4ab en je zult zien dat (a+b)² het altijd wint van 4ab (misschien beter gezegd: het niet verliest).
Het volgt direct uit het eerste deel van je vragen.
(a+b)² - (a-b)² = 4ab zag je daar en dús is (a+b)² groter of hoogstens gelijk dan 4ab, want je moet er eerst nog (a-b)² vanaf trekken om precies 4ab te krijgen.

Dus (a+b)²4ab ofwel a+b2Öab ofwel ¹/₂(a+b)...enz.

Als ¹/₂(a+b) = Öab, dan is (a+b)² = 4ab ofwel (a-b)² = 0 ofwel a = b.

Bedankt voor je 'liefs' aan het eind van de vraag, maar een groot deel had je toch best zelf kunnen vinden. Afijn, veel liefs terug van ons allen!

MBL
12-1-2005