WisFaq!

Derdegraads productgrafiek

Hoe kun je de positie van de toppen van een derdegraads productgrafiek van een lijn en een parabool wiskundig verklaren?

Timco
11-1-2005

Antwoord

Door de X-as horizontaal te verschuiven, kan men bereiken dat de top van de parabool (0,d) is.
Stel lijn: Y=aX+b, parabool Y=cX²+d met c¹0. Stel a¹0, anders is het gemakkelijk.
Productkromme Y=(aX+b)(cX²+d)=acX³+bcX²+adX+bd.
Afgeleide Y'=3acX²+2bcX+ad=0 als de discriminant niet negatief is en
X=(-2bc±wortel(4b²c²-12a²cd))/(6ac)=(-b±wortel(b²-3a²d/c))/(3a).
Dit zijn de X-coordinaten van de toppen van de productkromme in het aangepaste assenstelsel
(als b²-3a²d/c0, anders zijn er geen toppen).
Mooie X-waarden zijn het niet, maar we moeten het er mee doen. Je ziet wel hoe ze samenhangen met a,b,c,d.
De Y-coordinaten vindt men door invullen van deze X-waarden in de vergelijking van de productkromme.
Hier verwacht ik ook geen eenvoudig antwoord, maar misschien valt dat mee. Probeer het zelf eens?
Let op: men mag de Y-as niet zomaar gaan verschuiven, omdat dan onduidelijk wordt wat men onder 'product' verstaat.

hr
17-1-2005