WisFaq!

Laplace transformatie

Beste mensen kunnen jullie mij helpen met het oplossen van de volgende laplace transformatie?

Bvd

Niels

f(t)=t*cos 3t
Ik begrijp dat cos 3t = s/(s²+9)
en dat je dan -d/ds moet nemen voor t maar dit gedeelte begrijp ik absoluut niet.
Zouden jullie dit stap voor stap kunnen uitleggen, aangezien integreren en differentieren niet mijn sterkste kanten zijn.

Niels Oudshoorn
10-1-2005

Antwoord

dag Niels,

Juist als integreren niet je sterkste kant is, kun je handig gebruik maken van een regel voor Laplace-transformatie.
In woorden luidt deze regel:
Vermenigvuldigen met t in het tijdsdomein betekent differentiëren in het s-domein, en het resultaat tegengesteld nemen.
In formule (ik gebruik L als karakter voor de Laplace-transformator):

L(t·f(t)) = -^d/_dsF(s)

Deze regel kan bewezen worden met behulp van partiële integratie, maar ik vermoed dat je er niet echt veel mee opschiet om dit bewijs te volgen. Je zult de regel vooral moeten kunnen toepassen.
In jouw geval is de getransformeerde van cos(3t) gelijk aan ^s/_s²+9
In formule:
L(cos(3t)) = ^s/_s²+9
(dus niet zomaar cos(3t) gelijk stellen aan zijn getransformeerde...)
De regel toepassen levert dus:
L(t·cos(3t)) = -^d/_ds(^s/_s²+9)
Nu moet je dus de functie ^s/_s²+9 kunnen differentiëren. Dit gebeurt met de quotiëntregel.
Resultaat:
L(t·cos(3t)) = ^s2-9/_(s²+9)²
groet,

Anneke
10-1-2005