WisFaq!

Eigenvectoren

Ik heb de volgende matrix:

/2 0 0 4\
|0 2 0 0|
|0 0 -2 0|
\0 0 0 -2/

De eigenwaarden van deze matrix zijn makkelijk te vinden:

l= 2l= -2 (Allebei algebraic multiplicity =2)

Nu wil ik de eigenvectoren bepalen. Eerst vul ik l= 2 in.


/2-l 0 0 4\ Hieruit volgt: /0 0 0 4\
|0 2-l 0 0| |0 0 0 0|
|0 0 -2-l 0| |0 0 -4 0|
\0 0 0 -2-l/ |0 0 0 -4/

Als je deze matrix veegt, krijg ik het volgende:

/0 0 0 1\
|0 0 0 0|
|0 0 1 0|
\0 0 0 0/ Nu weet ik niet hoe ik de eigenvectoren moet bepalen van deze matrix. Normaal heb ik een vrije variabele waarmee ik de overige uitdruk. Maar in dit geval zie ik het echt niet.

Ik neem aan dat voor l= -2 dan dezelfde oplossing geldt?

Hopelijk kun je mij helpen

Dennis
9-1-2005

Antwoord

Beste Dennis,

Je hebt in dit geval minder eigenwaarden dan de rang van de matrix. Je vind 2 eigenwaarden, elk met multipliciteit gelijk aan 2.
Er zijn nu twee mogelijkheden:
- je vindt geen stel lineair onafhankelijke eigenvectoren, dan is de matrix niet diagonaliseerbaar
- je vindt per eigenwaarde 2 lin. onafh. eigenvecoren, in het totaal heb je er dus toch vier, dan is de matrix wel diagonaliseerbaar.

De matrix behorend bij l = 2 geeft zoals je zegt:

Ik neem even (x,y,z,t) als onbekenden, dan haal je hieruit de vergelijkingen:
t=0 Ù z=0
Je hebt dus geen voorwaarden op x en y (x,yÎ), dus zij brengen een 2-dimensionale ruimte voort - goed voor 2 lineair onafhankelijke eigenvectoren, namelijk:
(1,0,0,0) en (0,1,0,0)

De matrix behorend bij l = -2 zal je dit geven:

Waaruit de vergelijkingen komen:
x = -t Ù y = 0
Opnieuw heb je een 2-dimensionale ruimte. Uit de eerste vergelijking haal je de eigenvector (-1,0,0,1)
en uit de 2e haal je (0,0,1,0) omdat er geen voorwaarde op z is. (zÎ)

Je eigenvectoren op een rijtje:
(1,0,0,0) , (0,1,0,0) , (-1,0,0,1) , (0,0,1,0)

mvg,
Tom

td
9-1-2005