WisFaq!

Integreren

Hallo,
Via welke grondvorm kan ik de integraal bepalen van:
6x/(x²+x+1)^3/₂?

Ik weet dat het antwoord moet zijn:

-6/(x²+x+1)^1/₂-(2(2x+1)/(x²+x+1)^1/₂)

frank
9-1-2005

Antwoord

Hallo Frank,
Ik heb de integraal nagerekend en het resultaat klopt in alle geval.Het is een wat moeilijke maar de draad loopt als volgt:
ò6x/(x²+x+1)^3/2.Neem de afgeleide van x²+x+1
(x²+x+1)'=2x+1.
Vorm nu 6x om als volgt en in funktie van 2x+1.
dus:2x+1=3(2x+1)-3.Vul dit nu in in de teller van de opgave en splits af als volgt:
ò3(2x+1)dx/(x²+x+1)^3/2-3òdx/(x²+x+1)^3/2
De eerste integraal wordt nu:
3ò(x²+x+1)^-3/2d(x²+x+1)=3(x²+x+1)^-1/2/(-1/2)=
-6/Ö(x²+x+1).
De tweede integraal is wat anders.
Ik geef wat tips:
-3òdx/(Ö(x²+x+1)^3 moet nog opgelost worden.
x²+x+1=(x+1/2)²+(Ö3)/2)².
Stel nu x+1/2=(Ö3/2)tgt en dx=(Ö3/2)sec²tdt
Invullen van deze gegevens geeft,na vereenvoudiging en wat rekenwerk:
-4òcostdt =-4sint.(*)
Het geheel wordt nu :
-6/(Öx²+x+1)-4sint +c
Uit de waarde van tgt en met de formule tg²t+1=sec²t bepalen we we de cost en daaruit met de formule 1-cos²t=sin²t (en daaruit de wortel) bekomen we :
sint=(2x+1)/2(Ö(x²+x+1))
Vullen we dit opnieuw in bij (*) en na vereenvoudigen, bekomt U de oplossing die U voorstelt bij de opgave.
Het is nodig dat U zelf nu wat aan die tweede integraal werkt.De oplossing van de tweede integraal zou dan moeten zijn,na vereenvoudiging :(2x+1)/(2(x²+x+1)^1/2
Groeten en succes.
Hendrik

hl
10-1-2005