WisFaq!

Bewijs dat f een isomorfisme is

Hai,

Zij n,m1. Laat V:=Mnm() en W:=Mmn().
Zij f:V®W gedefinieerd dmv f(A)=A^t, voor alle AÎV
Bewijs dat f een isomorfisme is.

Als ik het goed heb moet f dus lineair, surjectief en injectief zijn.
Maar hoe kan ik dat dan het beste bewijzen?
Zou het heel fijn vinden als iemand mij opweg kan helpen.

Bedankt en groetjes

fleur
7-1-2005

Antwoord

Je moet inderdaad bewijzen dat f lineair is, surjectief en injectief (dus bijectief).

Lineair wil zeggen dat het beeld van een lineaire combinatie gelijk is aan de lineaire combinatie van de beelden.
Neem dus het beeld van een lineaire combinatie van 2 willekeurige elementen en bewijs dat:
f(aa+bb)=af(a)+bf(b)

Injectiviteit kan je bewijzen door te zeggen dat er geen 2 verschillende elementen van V zijn die hetzelfde beeld hebben, oftewel:
f(a)=f(a') = a = a'

Surjectiviteit wil zeggen dat elk element van W het beeld is van een element van V:
"bÎW, $aÎV: f(a)=b

Bijectiveit zou je bvb ook direct kunnen aantonen door te bewijzen dat en een inverse afbeelding bestaat.

mvg,
Tom

td
7-1-2005