WisFaq!

Re: Re: Re: Re: Isomorfisme van R-modulen

Hallo kphart,

f:M-M en f*f=f

F:M-Ker(f)(+)Im(f) , x-(x-f(x),f(x))

vraag1.Ik begrijp nog niet waarom x naar (x-f(x),f(x)) wordt gestuurd.
vraag2. f(x-f(x))=f(x)-f(f(x))=f(x)-f(x)=0, dus x-f(x) in Ker(f).Is dit correct?
Waarom f(x)in Im(f) weet ik niet.

vraag3.Ik moet de volgende dingen aantonen:

a.F is een hom
x en y in M en x-(x-f(x),f(x)) en y-(y-f(y),f(y))
En nu loop ik al vast want eerst had ik x=u+v en y=u'+v'.Maar wat voor uitdrukkingen heb ik nu voor x en y?Ik neem aan dat niet geldt u=x-f(x) en v=f(x) want dan staat er x=u+v=x.Dus ik begrijp niet wat ik nu moet doen:
F(x+y)=??
Omdat ik bovenstaande niet begrijp lukt het mij ook niet om b,c en d te bewijzen,
b.F is een R-moduulisom
c.injectiviteit
d.surjectiviteit.

Groeten,Viky

viky
7-1-2005

Antwoord

1. Omdat dat de enige mogelijkheid is: stel x=u+v met u in de kern en v in het beeld. Dan moet f(u)=0 en omdat f*f=f volgt dat f(v)=v; conclusie: f(x)=f(u+v)=f(u)+f(v)=v. Omdat v=f(x) volgt uit u+v=x dat u=x-f(x).
2. Je eerste regel is correct; wat de tweede regel betreft: wat is de definitie van Im(f)?
3. Pas de definitie van F toe: F(x+y)=((x+y)-f(x+y),f(x+y)). Nu uitwerken, met gebruik van f(x+y)=f(x)+f(y): F(x+y)=(x-f(x)+y-f(y),f(x)+f(y))=(x-f(x),f(x))+(y-f(y),f(y)).

kphart
11-1-2005