WisFaq!

Matrix [Pw] van de projectie Pw bepalen

Er staat een voorbeeld in mijn dictaat Lineaire Algebra die ik op één ding na begrijp.

W = (1,1,1),(2,1,0) is een lineaire deelruimte van R^3
We willen de matrix [Pw] van de projectie Pw bepalen.

Ik heb Gram-Schmidt toegepast, dit geeft als orthonormale basis van W:

{¹/_Ö3*(1,1,1),¹/_Ö2*(1,0,-1)}

Nu wordt de matrix [Pw] bepaalt. Er staat: [Pw] volgt uit de drie beelden Pw(e1), Pw(e2) en Pw(e3) van de standaardbasis {e1,e2,e3} van R^3.

Mijn vraag is hoe deze matrix precies tot stand komt. Ik ben ook niet bekend met {e1,e2,e3}.

Alvast heel erg bedankt.

Erik Schwarte
7-1-2005

Antwoord

Zonder garantie:

e1 is de eerste eenheidsvector dus (1,0,0). Je hebt in principe de gezochte matrix wanneer je de beelden van e1, e2 en e3 vaststelt.
Waarom je Gram-Schmidt gebruikt is me absoluut onduidelijk. Volgens mij heb je dat helemaal niet nodig (of zie ik nu iets over het hoofd?)
Wat weet je: Er wordt geprojecteerd op een lineaire deelruimte W die wordt opgespannen door de vectoren (1,1,1) en (2,1,0). Bij projectie worden deze vectoren op zichzelf afgebeeld.
De vector die loodrecht op W staat wordt bij projectie vervolgens op (0,0,0) afgebeeld. Stel nu met behulp van het uitproduct van (1,1,1) met (2,1,0) deze vector vast. Daar komt uit (1,-2,1).
De projectie is gewoon een lineaire afbeelding dus kun je nu ook van alle combinaties van deze drie vectoren de beelden bepalen. Dus ook van de eenheidsvectoren. Zet daartoe de bovenstaande vectoren met bijbehorende beelden in de rijen van een 'matrixvorm' en veeg met deze rijen totdat je links de eenheidsvectoren vindt:


Nu staan rechts in de matrixvorm de beelden van de eenheidsvectoren. In de overgangsmatrix staan de eenheidsvectoren vertikaal dus ook de beelden van die eenheidsvectoren komen dus vertikaal (naast elkaar) in de projectiematrix (uiteraard begin je daarbij met vector (1,0,0)):


'T is lang geleden maar volgens moet het zo wel kloppen. Ik hoor dat graag even terug.

Met vriendelijke groet
JaDeX

jadex
9-1-2005