WisFaq!

Bewijs gelijkheid in een driehoek

Hey, ik moest deze vakantie een remediėringstaak maken voor wiskunde maar er is een vraagstuk waar ik al enkele uren mijn hersenen over pijnig:

Bewijs dat voor de hoeken A, B en C van een willekeurige driehoek ABC:sin²A + sin²B - sin²C = 2sinA . sinB . cosC

ik heb het rechterlid al proberen ontleden mbv de omgekeerde fomule van simpson nl:

2sinA . sinB . cosC $<$$\Rightarrow$ [cos(A-B)-cos(A+B)].cosC
$<$$\Rightarrow$ [(cosA.cosB + sinA.sinB)-(cosA.cosB-sinA.sinB)]cosC

verder heb ik alles verlenigvuldigd met cosC maar toen zat ik vast.
Hoe ik het linker lid moet ontleden weet ik niet. Ik heb zelfs de hulp van miijn moeder ingeroepen maar zij kom da vele uren ook niet helpen. Ik moet deze oefening echt afkrijgen tegen maandag en ik ben hopeloos. Kan er iemand mij aub helpen?
groetjes JanaXxx

Jana P.
6-1-2005

Antwoord

Omdat geldt A+B+C is 180° is sin(B+C)=sin(180-A)=sinA en cos(B+C)=-cosA
Dit gebruik ik een aantal keren in het onderstaand bewijs alsmede de somformules, verschilformules, productformules en halverigsformules.

cos(A+B+C) = cosA·cos(B+C) -sinAcosBsinC -sinAsinBcosC = cos(180°) = -1
$\Leftrightarrow$ -cos²A -sinAcosBsinC -sinAsinBcosC +1 = 0
$\Leftrightarrow$ sin²A - sinAcosBsinC = sinAsinBcosC
$\Leftrightarrow$ 2sin²A - 2sinAcosBsinC = 2sinAsinBcosC
$\Leftrightarrow$ 2sin²A - sinA(sin(B+C)-sin(B-C)) = 2sinAsinBcosC
$\Leftrightarrow$ 2sin²A - sin²A + sin(B+C)·sin(B-C)= 2sinAsinBcosC
$\Leftrightarrow$ sin²A + sin(B+C)·sin(B-C) = 2sinAsinBcosC
$\Leftrightarrow$ sin²A + ¹/₂cos(2C) - ¹/₂cos(2B) = 2sinAsinBcosC
$\Leftrightarrow$ sin²A + ¹/₂ - sin²C - ¹/₂ + sin²B = 2sinAsinBcosC

Het zal ook nog wel makkelijker kunnen

Met vriendelijke groet
JaDeX

jadex
6-1-2005