WisFaq!

Verjaardagen

Hoe groot is de kans dat er in een groep van 26 mensen, 2 op dezelfde dag jarig zijn?

U heeft deze vraag al beantwoord (zie vraag111), maar ik wil u toch even vragen om met met mij mee te kijken en te vertellen wat ik fout doe. U rekent de kans uit dat er niet 1 op dezelde dag jarig is(complement-gebeurtenis), maar je moet toch ook de kans op de "echte" gebeurtenis uit kunnen rekenen.
Ik heb het volgende geprobeerd:(en wat doe ik fout?)

P(J(arig))=1/365 P(N(iet jarig))=364/365 (op willekeurige dag)
het gaat dus om rijtjes met 2 J's en 24 N's
de kans op zo'n rijtje is:
P(J)² · P(N)²4
het rijtje is te schrijven op (26!/2!·24!)manieren.
De totale kans is:
(1/365)·(1/365)·(364/365)²4 ·(26!/2!·24!)

Dit is de kans dat er bijvoorbeeld 2 mensen op 1 januari jarig zijn, maar er zijn 365 dagen waarop mensen jarig kunnen zijn dus 365· bovenstaande kans zou de kans moeten zijn, maar dat klopt niet????
Wilt u mij helpen?

Aart Manschot
16-5-2002

Antwoord

Laten we een eenvoudiger voorbeeld nemen (dat is altijd een goede strategie)! Wat is de kans dat van deze groep van 26 mensen er precies 2 mensen in dezelfde maand jarig zijn?

Volgens jouw redenering:
P(zelfde maand jarig)= (1/12)²·(11/12)²⁴·(26!/(2!·24!)0,280
Er zijn 12 maanden dus (1/12)²·(11/12)²⁴·(26!/(2!·24!)·12=3,4.... eh.. he? Dat is gek! Dat kan niet goed zijn...

Wat gaat er mis? In die 0,280 zitten ook een groot aantal 'paren' van mensen die ook in dezelfde maand jarig zijn! (Weliswaar in een andere maand, maar toch!). Dit laatste weet ik zelfs wel zeker! Want 24 mensen verdelen over 11 overgebleven maanden, dat moet mensen opleveren die in dezelfde maand jarig zijn... en die 'mogelijkheden' tel ik door met 12 te vermenigvuldigen dus (een aantal keren?) dubbel!

Conclusie: de door jou voorgestelde 'oplossing' voor het verjaardagenprobleem is niet juist.
Hopelijk is het duidelijk!

WvR
17-5-2002