WisFaq!

30-voud

Hoe kan ik het volgende bewijzen:
30 is een deler van n⁵ - n?
Als aanwijzing wordt gegeven:

Onderscheid hierbij 5 gevallen:
n is een vijfvoud
n is een vijfvoud plus 1
n is een vijfvoud plus 2
n is een vijfvoud plus 3
n is een vijfvoud plus 4

Waarom deze vijf gevallen?

Harrie Oosting
4-1-2005

Antwoord

Een 30-voud wil zeggen dat n⁵-n deelbaar moet zijn door 2, 3 en 5. Heb je al aangetoond dat n⁵-n deelbaar is door 2 en 3?

Zo niet, bedenk: n⁵-n=n(n⁴-1)=n(n²+1)(n+1)(n-1)
In deze laatste uitdrukking komen altijd 3 opeenvolgende getallen voor (n-1, n en n+1). Het getal is dan zeker deelbaar door 2 en 3.

Blijft over om aan te tonen dat n⁵-n ook deelbaar is door 5. Zou dat verder lukken?

WvR
4-1-2005