WisFaq!

Bewijs van ongelijkheid bij reele getallen

Ik slaag er maar niet in het bewijs te leveren voor het volgende
"a,bÎ: ab+1 en a+b=2c-1Þabc(c-1)

Als gegeven heb ik dan:
a,bÎ
ab+1 (of a-b1)
a+b=2c-1

Te bewijzen: abc(c-1)

Door het gegeven te gebruiken vond ik de volgende dingen:
c-1b
ac
dus: acb+1

Maar hiermee raak ik maar niet tot het te bewijzen. Kunnen jullie me verder helpen? Dankje!

Irmgard
4-1-2005

Antwoord

Bewijs uit het ongerijmde:
Stel ab+1 en a+b=2c-1 en abc(c-1): we leiden een tegenspraak af!

ab c(c-1) Û 4ab 2c(2c-2) Û 4ab (a+b+1)(a+b-1) Û
4ab a²+2ab+b²-1 Û 0 (a-b)²-1.
Nu weet je dat ab+1 en dus het rechterlid groter moet zijn dan 0.
Hiermee is de tegenspraak aangetoond.
Uitgaande van ab+1 en a+b=2c-1 kan nooit gelden: abc(c-1)
Dus moet dan wel abc(c-1).

Het kan ook wel zonder het ongerijmde (kijk daarbij op dezelfde manier naar c(c-1)-ab en laat zien dat dit altijd > 0 is), dat moet ook wel lukken.
Uit het ongerijmde zag ik eigenlijk direct zitten.

Met vriendelijke groet
JaDeX

jadex
4-1-2005