WisFaq!

Matrix van een lineaire afbeelding

Hallo!

Van een lineaire afbeeldingT: ³®³ wordt het beeld van een vector a als volgt verkregen: Eerst wordt a gedraaid over een hoek van 60° om de x-as (tegen de klok), vervolgens wordt de vector met een factor 4 vermenigvuldigd, en tenslotte wordt er gespiegeld in het vlak x=0 (het yz-vlak dus).

Vraag: Bepaal de matrix A van T.

Ik weet wel hoe ik dit moet aanpakken, maar ik weet niet hoe ik die 3 deelmatrices moet maken. Kan iemand mij stap voor stap (grafisch) uitleggen hoe ik die deelmatrices maak?

Bvd!

CT
3-1-2005

Antwoord

dag CT,

Ik weet niet precies wat bedoeld wordt met draaien tegen de klok in de drie-dimensionale ruimte: het ligt er maar net aan van welke kant je er naar kijkt.
Als je naar een drie-dimensonaal getekend assenstelsel kijkt, wijst de positieve x-as naar je toe. Tegen de klok in draaien om de x-as over 90° vanuit die kijk-positie betekent bijvoorbeeld dat het punt (0, 1, 0) afgebeeld wordt op het punt (0, 0, 1).
Als je vanuit de oorsprong in de richting van de x-as kijkt, en je draait tegen de klok in, dan is het beeld (0, 0, -1).
Ik ga nu maar uit van de eerste optiek.
De eerste matrix D (van de draaiing) is dan te bepalen door te kijken naar de beeldvectoren van de drie basisvectoren.
Deze beeldvectoren staan dan in de kolommen van D.
Neem nu bijvoorbeeld de vector (0,1,0) (als kolom).
Deze wordt gedraaid over 60°.
Hierbij een plaatje van het yz-vlak.

Het beeld wordt dus (0, ¹/₂, ¹/₂Ö3) (als kolom).
Zo kun je ook het beeld van (0,0,1) bepalen.
Dus D is gelijk aan

De matrix V van de vermenigvuldiging is op dezelfde manier te vinden door te kijken naar de beeldvectoren van de drie basisvectoren.
Dus V is gelijk aan

En S van de spiegeling is gelijk aan

De matrix A is dan de vermenigvuldiging van deze drie, waarbij de volgorde van de afbeeldingen van rechts naar links genomen moet worden.
Dus A = S·V·D
Ik hoop dat dit wat duidelijkheid schept.
groet,

Anneke
6-1-2005