WisFaq!

Vraag met parameter

gegeven: de volgende vergelijking met k een reële parameter

x⁴+2x³-17x²+kx+72=0

bepaal k zo dat de vergelijking vier verschillende reële wortels (x1,x2,x3,x4) heeft en waarvoor geldt
x1+x2=x3+x4

deze vraag komt van een ingangsexamen en om mij voor te bereiden had ik deze graag kunnen oplossen
jammergenoeg kom ik maar niet aan een manier om de vraag op te lossen
ik had gedacht om de vergelijking die in de vierde graad staat om te zetten in 2 vergelijkingen van de tweede graad
maar daarvoor moet je horner gebruiken
bestaat er nog een andere manier??
alvast bedankt
Tom

Tom Braet
30-12-2004

Antwoord

Dit soort opgaven voor toelatingsexamens willen vaak logisch nadenken testen, veel eerder dan formulekennis.
De vier reële wortels betekenen dat je x⁴+2x³-17x²+kx+72=0 kunt ontbinden in (X-w₁)·(X-w₂)·(X-w₃)·(X-w₄)
Twee aan twee uitwerken levert nu (X²-(w₁+w₂)X+...)(X²-(w₃+w₄)X+...).
Kijk je even verstandig naar de laatste vorm en realiseer je dat de coefficient van x³ 2 bedraagt dan is dus w₁+w₂=w₃+w₄=-1
Dus de oorsponkelijke polynoom moet te ontbinden zijn in (x²+x+a)(x²+x+b).
Nu moet a·b=72 zijn en a+b=-18 zijn. Die -18 komt omdat de coefficient van x² -17 is en x·x een bijdrage van 1x² oplevert.
Dus a=-12 en b=-6.
Nu ben je er want de ontbinding wordt: (x²+x-12)(x²+x-6).

Met vriendelijke groet
JaDeX

jadex
30-12-2004