WisFaq!

Logaritmen van complexe functies

Ik heb in een opgave moeten bewijzen dat als |z|= r en
arg z = $ dan is z = e^(ln r + i$). Dat is gelukkig gelukt. Maar dan wordt er op grond van dit bewijs log z als volgt gedefinieerd.
log z = ln r + i$. Waarom en hoe?
log (e^(ln r + i$))= ????

Ingrid
29-12-2004

Antwoord

Ingrid,
Er geldt de volgende stelling:
St:Als z een complex getal is ¹0, dan bestaan er complexe getallen w met e^w =z.één van die w's is het complexe getal log/z/ +i arg(z),terwijl iedere andere w gelijk is aan log/z/+iarg(z)+2npi.

Bewijs:Daar e^(log /z/+iarg(z))=z (dat heb je zelf aangetoond),is w=log/z/+iarg(z)een oplossing van de vergelijking e^w=z.Maar als w(1) ook een oplossing is, dan is e^w=e^w(1) en dus w-w(1)=2npi.
Daarom de definitie:Als z¹0 een gegeven complex getal is en w een complex getal zodanig dat e^w=z ,dan is w een logaritme van z.De hoofdwaarde van w is
w=log/z/+iarg(z) en voor deze w schrijven we w= log z.
Zo duidelijk. Een gezond2005 toegewenst.

kn
1-1-2005