WisFaq!

Vierdegraadsvergelijking oplossen als tweedegraads vergelijking

We hebben een herhaling op hoofdstuk 7: kwadratische vergelijkingen. De leraar gaf toen opnieuw deze vergelijking (die we ooit eerder PRECIES hetzelfde gehad hebben, maar ik deed hem toen en nu fout ):
x^4 - 10x² + 9 = 0
Ik zei toen:
x^4 + 9 = 10x²
x² + 3 = 10x
x² - 10x + 3 = 0

abc-formule:
D = b² - 4ac = -10² - 4 * 1 * 3 = 88
Dus: x = (-(-10) + 88)/2a of
x = (-(-10) - 88)/2a
Dus: x = 5 + 88/2 of
x = 5 - 88/2
x 9,69 of
x 0,31

Als ik ga nakijken:
x^4 - 10x² + 9 = 0
9,69^4 - 10*9,69² + 9 = 0
Dit is niet zo. Ook voor x = 0,31 geldt dit niet.

Mijn docent heeft toen op het bord gezet:
Neem x² = p
Dan krijg je dus:
p² - 10p + 9 = 0
(p - 1) (p - 9) = 0
p = 1 of p = 9
dus
x² = 1 of x² = 9
x = 1 of x = -1 of x = 3 of x = -3.

Ik begrijp alles behalve dit (mijn vraag dus): waarom werkt mijn eerste manier niet en waarom moet je dus die manier van mijn docent gebruiken?

Bart Kleyngeld
15-5-2002

Antwoord

Beste Bart

Je fout zit in de overgang van de tweede naar de derde regel:
x2 + 3 = 10x²
is iets heel anders dan
x^4 + 9 = 10x
Ik denk dat je links en rechts de wortel wilde nemen, maar
als je dit controleert (169 =13 want 13´13=169 } krijg je :
(10x)²= 10x . 10x = 100x² en dus geen 10x²
bovendien (x²+3)² = (x²+3)(x²+3)= x^4+6x²+ 9
(maak maar een tabelletje of een tekening
Dat deze manier van "wortel trekken" niet werkt kun je ook zien aan 25:
25=(16+9)¹16 +9
Immers 5 ¹4 + 3
Je kunt hetook zo zien: De beroemde stelling van Pythagoras wordt wel zo geschreven:
a² + b² = c² (a en b de rechthoekszijden , c de schuine zijde).
Als je jouw "methode" toepast krijg je:
a+ b = c, dus de schuine zijde is evenlang als de twee andere samen (?!?)

gk
15-5-2002