WisFaq!

Hoe maak ik een constructie van Van Schootens ellipsograaf?

Op lat LK is het punt A een scharnierende arm AB bevestigd. Een even lange arm BE scharniert om punt B terwijl punt D langs de lat LK schuift. In de lat BD zijn verschillende gaatjes geboord (oa punt E)

Hij begint zo in Cabri:

1. Teken in de hoek van het tekenvel een lijnstuk.
2. 2 Teken met de optie passer cirkels om A en D met als straal de lengte van het lijnstuk.
3. B is een van de twee snijpunten van de cirkels.

(Cabri tekent als meetkundige plaats van E niet de verwachte ellips. Hoe komt dit? Hoe krijg ik de goede ellips?
Help me!

Daniel
15-5-2002

Antwoord

Een Riemannsom is een aanloop tot integraalrekenen, en met integraalrekenen kun je oppervlaktes onder grafieken berekenen.
Tot nu toe ben je (waarschijnlijk) wel in staat om de oppervlakte te bepalen/berekenen onder een rechte lijn (of deze nou schuin of recht loopt), maar het wordt een probleem als de grafiek een kromme is (zoals bijvoorbeeld de oppervlakte onder de grafiek van y=x²)
Je kunt nou toch een BENADERING maken van deze oppervlakte door allemaal rechthoekige STAAFJES onder de grafiek te tekenen (zoals in je boek staat)
Waarom juist staafjes? Omdat het berekenen van de oppervlakte van een staafje eenvoudig is (gewoon lengte keer breedte)
Bij een Riemannsom tel je de oppervlaktes van al die staafjes bij elkaar op, en dit levert een goeie schatting voor de opp. onder de grafiek.
Hoe smaller de staafjes, hoe beter de benadering.

Concreet voorbeeld:
gegeven de functie y=x², bepaal met een Riemann-som de oppervlakte onder de grafiek, tussen x=1 en x=3.
We tekenen 10 staafjes, elk met breedte 0,2.
staafje 1 begint bij x=1, heeft hoogte 1², en breedte 0,2;
staafje 2 begint bij x=1,2, heeft hoogte (1,2)² en breedte 0,2;
staafje 3 begint bij x=1,4, heeft hoogte (1,4)² en breedte 0,2;
enz.....
de Riemannsom is dus de benadering van de oppervlakte, en bereken je met de optelsom van de oppervlaktes van de afzonderlijke staafjes:
O f(1).0,2 + f(1,2).0,2 + ... + f(2,8).0,2
(denk erom: niet OOK f(3).0,2 want dan heb je juist 1 staafje teveel!)

Je zou in tweede instantie de breedte van je staafjes eens kunnen halveren, dus 0,1.
Maar dan heb je wel 2 keer zoveel staafjes nodig. Je benadering is zo wel preciezer.
(de exacte oppervlakte is 26/3 )
Hopelijk is het zo iets duidelijker.

groeten,
martijn

Zie Ellips-constructies met Cabri [8] [http://www.pandd.demon.nl/ellips/ellips8.htm]

WvR
16-5-2002