WisFaq!

Re: Van recursief in directe formule

Hallo,
DAnk je het is me gelukt: 1,5·3ⁿ-0,5
IK ben al heel wat verder nu, ik heb alleen nu nog een probleempje. Want ik heb nu een recursieve (differente) forumule: U(n)=5· U(n-1) + A(n)
dus U(n)=5· U(n-1) + 1,5·3ⁿ-0,5 met U(0)=1
Ik heb het op dezelfde manier geprobeerd als met de vorige, maar het lukte me niet. Moet ik nu wat anders doen of is hier geen directe formule voor (is er voor elke recursieve een directe formule?)? Dankje!

dennis
27-12-2004

Antwoord

dag Dennis,

Je kunt niet alle recursieve formules omzetten in een directe, maar in veel gevallen kun je de volgende methode toepassen. Bekijk de algemene vorm:
U(n) - r·U(n-1) = f(n)
Hierin kan f(n) een bekende uitdrukking in n zijn, en r is een constante.
De oplossing voor U(n) bestaat dan uit een zogeheten homogeen deel en een particulier deel.
Het homogene deel is U_h = P·rⁿ (P is een constante)
Je ziet eenvoudig in, dat deze formule in het linkerlid de waarde 0 oplevert.
Nu zoek je nog een particulier deel U_p, die in het linkerlid ingevuld juist f(n) oplevert.
De algemene oplossing is dan U_h + U_p
De waarde van P vind je door invullen van de randvoorwaarde, bijvoorbeeld de waarde van U(0).
Vraag is nu nog: hoe vind je U_p?
Vuistregel hierbij is: zoek een uitdrukking in de vorm van f(n), met onbekende coëfficiënten, en vul deze in in de vergelijking. Gelijkstellen van alle gelijksoortige termen moet dan de waarden van de onbekende coëfficiënten opleveren.
In jouw geval is f(n) = 1.5·3ⁿ - 0.5
Dus kies U_p = A·3ⁿ + B
Lukt dat verder?
succes!

Anneke
28-12-2004