WisFaq!

Re: Aflossingstabel met vaste mensualiteiten zelf berekenen

Tom,

Kan jij een formule bedenken waarmee ik de looptijd (in maanden) kan bepalen, uitgaande van volgende gekende gegevens : mensualiteit, kapitaal en maandrentevoet ?

jos

jos brosens
21-12-2004

Antwoord

We veronderstellen een lening met de volgende eigenschappen:
Iemand leent op zeker moment zeg 1 januari een bedrag K.
Maandelijks betaalt hij rente. We noemen i het maandelijkse rentepercentage gedeeld door 100.
Dit moment noemen we n=0. Vanaf 1 februari betaalt hij maandelijks een bedrag m aan rente en aflossing. 1 februari komt overeen met n=1. De restschuld na de betaling op 1 februari is K(1+i)-m.
Zetten we de restschuld voor de eerstvolgende maanden eens onder elkaar dan krijgen we:
n=0: 1 jan: K
n=1: 1 feb: K(1+i)-m
n=2: 1 mrt: (K(1+i)-m)(1+i)-m=K(1+i)²-m(1+i)-m.
n=3: 1 apr: (K(i+i)²-m(i+i)-m)(1+i)-m=K(1+i)³-m(i+i)²-m(1+i)-m(1+i)-m.

Als we zo doorgaan dan krijgen we op tijdstip n:
K(1+i)ⁿ-m((1+i)^n-1+(1+i)^n-2+.....(1+i)+1).
We herkennen hierin de som van een meetkundige rij, zodat we dit kunnen herschrijven tot:
K(1+i)ⁿ-m((1+i)ⁿ-1)/((1+i)-1)=K(1+i)ⁿ-m((1+i)ⁿ-1)/i.

De formule voor de restschuld na n termijnen is dus:

K(1+i)ⁿ-m((1+i)ⁿ-1)/i.

Vanuit deze formule voor de restschuld kunnen nu een aantal vragen worden beantwoord, waaronder de vraag: na hoeveel maanden is de lening afgelost. Immers dan is de restschuld gelijk aan 0.
We krijgen dan de vergelijking:
K(1+i)ⁿ=m((1+i)ⁿ-1)/i
K/m=((1+i)ⁿ-1)/i/(1+i)ⁿ
iK/m=1-(1+i)^-n
(1+i)^-n=1-iK/m
Links en rechts een logaritme nemen (bijvoorbeeld de natuurlijke logaritme ln) levert:
ln((1+i)^-n)=ln(1-iK/m)
-n×ln(1+i)=ln(1-iK/m), dus
n=-ln(1-iK/m)/ln(1+i).
Dit is dan de looptijd van de lening.

hk
24-12-2004