WisFaq!

Identiteiten in driehoeken

Hallo,
Mijn vraag is de volgende:
a. Bewijs dat:" x,y Îinterval( 0,p/2) waabij 0 en p/2 zelf niet inbegrepen zijn, de volgende identiteit:
1+2cos4y-(sin6x/sin2x)=16sin(x-y)sin(x+y)cos(x-y)cos(x+y).

b. hoeken a, b, en van de driehoek abc (met a¹b ) voldoen aan de betrekking:
sin(3a)/sin(a)-2cos(2b)*-1=4cotg(c/2)*sin(b-a).
Bewijs dat de driehoek rechthoekig is.
Men mag de identiteit gebruiken die in a. gegeven is, zelfs als het bewijs ervan niet is uitgewerkt

hl
20-12-2004

Antwoord

dag Hendrik,

Voor de eerste vraag maak je gebruik van de volgende goniometrische formules:
2sin(x)cos(x) = sin(2x)
2sin(a)sin(b) = cos(a-b) - cos(a+b)
2cos(a)sin(b) = sin(a+b) - sin(a-b)

Zo maak je van het rechterlid achtereenvolgens:
4sin(2x-2y)sin(2x+2y) = 2(cos(4y) - cos(4x))
Nu valt de term met cos(4y) dus uit de identiteit weg (links en rechts) en blijft alleen over (vermenigvuldig links en rechts met sin(2x)):
sin(2x) - sin(6x) = -2cos(4x)sin(2x)
waarvan de identiteit direct volgt uit de laatste formule.

Dan vraag b.
Uit de identiteit van vraag a. (neem a=2x en b=2y) volgt dat het linkerlid gelijk is aan (zie eerste uitwerking van vraag a.):
-4sin(a-b)sin(a+b)
Volgens het gegeven is dit gelijk aan 4cotg(c/2)sin(b-a)
waaruit volgt:
sin(a+b) = cotg(c/2)
Omdat het hier om een driehoek gaat (hoekensom is 180°), is sin(a+b) = sin(c)
dus geldt:
sin(c) = cotg(c/2)
Noem c/2 = p
Gebruik nu de formule voor sin(2p) en je krijgt:
2sin(p)cos(p) = cos(p)/sin(p)
Het oplossen van deze laatste vergelijking levert:
cos(p)=0 of cos(2p)=0
De eerste oplossing geeft:
c=180°, en dat voldoet niet aan de eisen voor een driehoek.
De tweede oplossing levert het gewenste resultaat.
groet,

Anneke
20-12-2004