WisFaq!

Hoekbepaling onder voorwaarden

Hello,
Nog een vraag.
In een vlak beschouwt men een cirkel met straal R.Zij ab een diameter van C en Tb de raaklijn in b aan C.Een rechte A gaande door a snijdt C in een tweede punt m en Tb in p.
Bepaal de hoek (pab)(tussen ab en ap) als U weet dat:
2*(am)+(mp)=5R.

hl
20-12-2004

Antwoord

De raaklijn Tb staat loodrecht op ab (raaklijn loodrecht op straal)
Hoek amb is recht op grond van de stelling van Thales. (ken je deze?)
Dus mb is een hoogtelijn in de rechthoekige driehoek abp.
Nemen we voor het gemak R=1, en noemen we hoek pab=a, dan krijgen we:
ab=2.
2/ap=cos(a), dus ap=2/cos(a)
am/2=cos(a), dus am=2cos(a)
2*am+mp=am+am+mp=am+ap=5
Dus
2cos(a)+2/cos(a)=5
2cos²(a)+2=5cos(a)
2cos²(a)-5cos(a)+2=0
Oplossen van deze vierkantsvergelijking in cos(a) levert:
cos(a)=2 of cos(a)=¹/₂.
Waaruit volgt a=60°.

hk
20-12-2004