WisFaq!

Basis bepalen

Beste meneer/mevrouw

Zij V:={x=(x1,...,x5)Î⁵| x1+x2-x5=0 en x1+2x2-x3+x4+x5=0}
Bepaal een basis voor V.

Bepaal een basis voor v1,v2,v3,v4 waarbij
v1=
1
0
1
1
V2=
-3
3
7
1
v3=
-1
3
9
3
v4=
-5
3
5
-1

Ik weet dat een onafhankelijk en volledig stelsel een basis is maar hoe kan ik dat bij deze twee bepalen?

Vriendelijke groet,

E
19-12-2004

Antwoord

In het eerste geval zoek je eerst de oplossingen van het stelsel met de twee vergelijkingen:
x1+x2-x5=0 en x1+2×x2-x3+x4+x5=0
Û x1+x2-x5=0 en x2-x3+x4+2×x5=0 (tweede vgl min eerste)
Er zijn dus 3 vrijheidsgraden:
x2=k, x4=l, x5=m en x1=-k+m en x3=k+l+2×m
Û(x1,x2,x3,x4,x5)=(-k+m, k, k+l+2×m,l,m)
=k(-1,1,1,0,0)+l(0,0,1,1,0)+m(1,0,2,0,1)
Stel v1=(-1 1 1 0 0)^t, v2=(0 0 1 1 0)^t en v3=(1 0 2 0 1)^t
dan is V=v1,v2,v3

En nu is je eerste vraag herleid tot een analoge vraag als je tweede.

Een basis is inderdaad een stel vectoren die lineair onafhankelijk zijn en voortbrengend voor de ruimte.
De tweede voorwaarde is zeker voldaan vanuit de definitie van de ruimte V. V is immers de ruimte voortgebracht door de vectoren v1,v2 en v3.
Je moet dus enkel nagaan of ze lineair onafhankelijk zijn, dit betekent dat je op zoek gaat naar x1,x2 en x3 zodat
x1×v1+x2×v2+x3×v3=0

Je moet maw een stelsel oplossen. Vind je enkel de nuloplossing als oplossing van het stelsel dan zijn de vectoren lineair onafhankelijk, vind je meer oplossingen dan zijn de vectoren lineair afhankelijk.
Kies dan de niet nul-oplossing en je vindt een verband tussen de vectoren. De vector/vectoren die je kan schrijven als linearie combinatie van de anderen, mag je weglaten.

Mvg,

Els
21-12-2004