WisFaq!

Lemniscaat, hyperbool en torus

Hallo!
Wij hebben twee vraagjes:

1. Hoe bewijs je dat als je een torus op een bepaalde plek verticaal doorsnijdt, de doorsnede een lemniscaat is?

2. Hoe bewijs je dat de inverse van een hyperbool in een cirkel een lemniscaat is?

Groetjes Carlijn en Renske

Renske en Carlijn
15-12-2004

Antwoord

Dames, Voor 1 zal ik een afleiding geven, voor twee kijk op google:Lemniscate of Bernoulli.
1.vergelijking torus:
(d-√x²+y²)²+z²=c² met c de straal van de torus en d de afstand van het centrum van de torus tot de z- as.
(c$<$d).Uit de vergelijking volgt:
√x²+y²=d -√c²-z².
dee vergelijking kwadrateren geeft:
x²+y²-d²-c²+z²=-2d√c²-z².
nogmaals kwadrateren geeft:
(x²+y²-d²-c²+z²)²=4d²(c²-z²).
Neem y=d-c,d=a en c=a/2:dit geeft:
(x²+z²-a²)²+4a²z²=a⁴.
Dit is te herschrijven als

((x-a)²+z²)((x+a)²+z²)=a⁴, de vergelijking van een lemniscaat.

kn
17-12-2004