WisFaq!

Re: Poissonverdeling

Vanaf het bernoulli-kansverdeling experiment of de binomiale verdeling moet je op de poissonverdeling zien te komen......

Stephanie
14-12-2004

Antwoord

Stephanie,
Laat b(n,p)de binomiale verdeling zijn en laat hierin
n naar oneindig en p naar nul gaan zodanig dathet produkt
np(het eerste moment) een vaste waarde a heeft.
Zij P(n)(k) de kans op de waarde k voor een stochastische
variabeledie de verdeling b(n,a/n) heeft.Dus
P(n)(k)=c(n,k)(a/n)^k(1-a/n)^(n-k)=
(n(n-1)....(n-k+1))/k!* (a^k)/(n^k)(1-a/n)^(n-k)=
(a^k)/(k!)(1-1/n)(1-2/n)...(1-(k-1)/n)(1-a/n)^n*
(1-a/n)^-k.
bij vaste k geldtnu dat (1-1/n)(1/2/n)...(1-(k-1)/n) gaat naar 1 voor n naar ¥,
lim(1-a/n)^-k=1 voor n naar ¥, en
lim (1-a/n)^n=e^-a voor n naar ¥.( is niet eenvoudig op jullie niveau te bewijzen)
Dus voor n naar ¥ resteert (a^k)/k!e^-a,de poisson verd

opm:n(n-1)(n-2)...(n-(k+1))/n^k= 1(1-1/n)(1-2/n)...(1-(k+1)/n).

kn
14-12-2004