WisFaq!

Probleem met de Poisson-verdeling

Op Poisson Distribution staat de Poisson-verdeling en hoe hij is afgeleid van een binominale-verdeling. Ik snap alleen niet hoe ze van punt 6 naar punt 7 gaan. misschien kunt u mij hier bij helpen.
Alvast bedankt

Daphne
13-12-2004

Antwoord

Er zitten, denk ik, twee lastige stappen voor je in.
De eerste is het gedrag van de breuk [N(N-1)(N-2)...(N-n+1)]/[N^N] als N heel groot wordt ("naar oneindig gaat").
Het eenvoudigst zie je het waarschijnlijk als je voor n een keuze doet, bijvoorbeeld n = 6.
Als je het bewuste quotiënt dan uitschrijft, krijg je het volgende: [N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)]/[N^6].
Als je nu de 6 factoren N uit de noemer stuk voor stuk verdeelt over de 6 factoren in de teller, dan krijg je het volgende: N/N . (1 - 1/N) . (1 - 2/N) .... .(1 - 5/N)
als N nu heel groot wordt, dan wordt elke factor van dit rijtje vrijwel gelijk aan 1, zodat hun product ook 1 gaat worden.

Het tweede lastige punt moet zijn wat er met (1-m/N)^N gebeurt als N weer heel erg groot wordt.
Dat ligt behoorlijk gecompliceerder en berust op een stelling uit de hogere analyse. De bedoelde stelling dat de vorm (1 + a/x)^x nadert tot e^a wanneer je x heel groot maakt. Bovendien zitten er nog wel een paar "mitsen en maren" aan vast!
Het bewijs hiervan gaat boven de middelbare schoolstof uit, dus je moet dit maar als mededeling aanvaarden.
Als je voor a nu het getal -m kiest, ontstaat hetgeen je in de afleiding van Wolfram zag.

MBL
13-12-2004