WisFaq!

Nulpunten van 3ln(e^x + 1) - 2x

Hallo,

De functie f(x) = 3ln(e^x + 1) - 2x
is een functie waarvan ik graag het verloop had bepaald als oefening. Nu begin ik natuurlijk met het domein () en de nulpunten te bepalen. Maar bij de tweede stap kom ik vast te zitten. Mijn ZRM gebruikend zie ik dat er geen nulpunten zijn, maar als ik de berekening doe, kom ik toch iets uit. Nu vraag ik me af waar mijn fout zit natuurlijk.
Hier is de logica die ik gevolgd heb:
3ln(e^x + 1) - 2x = 0
= 3ln(e^x + 1) = 2x
= ln(e^x + 1) = 2/3 * x
Omdat ik x wil bepalen, zal ik die dus uit die ln moeten krijgen. De ln wil zeggen dat ik e tot de macht 2x/3 moet verheffen om e^x + 1 te verkrijgen. Dit toepassend krijg ik dat:
= e^x + 1 = e^2x/3
= 1 = e^2x/3 - e^x
Nu kan ik e^x vooropzetten:
= 1 = e^x * (e^2/3 - 1)
= 1 / (e^2/3 - 1) = e^x
Dus zou de ln van 1 / (e^2/3 - 1) toch moeten gelijk zijn aan x?
= ln [1 / (e^2/3 - 1)] = x
Maar dit blijkt natuurlijk niet zo te zijn.
Kunnen jullie me helpen waar mijn fout zit ?
Alvast bedankt!

Vyncke Arno
12-12-2004

Antwoord

dag Arno,

De fout die je maakt zit in het buiten haakjes brengen van e^x.
Jij veronderstelt, dat e^ax gelijk is aan e^a·e^x, maar dat is niet het geval.
Immers: e^a·e^x = e^a+x
en dat is echt wat anders.
Wat je wel kunt doen, is een substitutie:
e^x/₃ = p
dan is
e^2x/₃ = p²
en
e^x = p³.
Je krijgt dan de vergelijking: p³ + 1 = p²
en daarvan kun je aantonen dat het nulpunt negatief is, zodat er geen oplossing voor x is.
groet,

Anneke
12-12-2004