WisFaq!

Differentiaalvergelijkingen vloeistoffen

Je schenkt 0,2 kg vloeistof van 80 graden in een beker. De omgevingstemperatuur is 20 graden. De snelheid waarmee de temperatuur van de vloeistof afneemt is evenredig met het verschil tussen de temperatuur van de vloeistof en de omgeving. De evenredigheidsconstante c waamee dat gebeurt, is afhankelijk van de aard en de hoeveelheid van de vloeistof.

Neem aan dat c /√ 0.015/m, waarbij m de massa van de vloeistof is. De vraag is hoe de temperatuur T zich gedraagt als functie van de tijd t in minuten.

Hierbij moeten we een beschrijving geven mbv Exel van een discrete benadering van het proces, dat hebben we gedaan en we moeten aantonen hoe het discrete proces overgaat in een continu proces en de bijbehorende differentiaalvergelijking opstellen, maar hoe moet dat, wij komen er niet uit. We moeten ook nog mbv VU-Dif een analyse maken van het richtingsveld bij het proces en onderzoeken wat de rol van de randvoorwaarde is. En de oplossing van de vergelijking afleiden.
En op de site staat ook het probleem van koffie en melk, je koopt koffie op het station en wilt dat in de trein zo heet mogelijk opdrinken, of je beter gelijk melk bij de koffie kunt doen of beter kunt wachten. dat antwoord weten we je kunt het er beter gelijk bij doen, maar hoe kom je op dat antwoord; is daar een berekening voor ofzoiets.

Renee Been
10-12-2004

Antwoord

dag Renee,

Dit is eigenlijk geen vraag voor Wisfaq, omdat het meer om natuurkundige eigenschappen gaat, maar vooruit, het is vrijdagmiddag.
Het model dat gebruikt wordt om dit probleem te beschrijven, is de afkoelingswet van Newton, die zegt dat de snelheid waarmee een object afkoelt evenredig is met het verschil tussen de buitentemperatuur en de temperatuur van het object .
Noem T(t) de temperatuur van het object op tijdstip t.
De snelheid waarmee het object afkoelt, is gelijk aan -^dT/_dt.
De wet van Newton zegt dus:
-^dT/_dt = k·(T(t) - T_buiten)
waarbij k de evenredigheidsconstante is.
Snap je nu, dat hete koffie het snelst afkoelt?
De mate van afkoeling door toevoeging van de melk is ook afhankelijk van de temperatuur van de koffie. Immers: noem Tk de temperatuur van de koffie, Tm de temperatuur van de melk, mk de massa van de koffie en mm de massa van de melk.
De temperatuur van het mengsel is dan (mk·Tk+mm·Tm)/(mk+mm)
De temperatuurafname door toevoeging van de melk is dus gelijk aan
(Tk-Tm)·(mm/(mk+mm))
Zolang de massa van de melk erg klein is in verhouding tot de massa van de koffie, is deze temperatuurafname minder afhankelijk van het tijdstip.
Eigenlijk kun je zeggen: als mm/(mk+mm) kleiner is dan de evenredigheidsconstante k, en de temperatuur van de melk is gelijk aan de buitentemperatuur, dan kun je de snelheid van afkoelen het best beperken door de melk er zo snel mogelijk aan toe te voegen.
Ik hoop dat het zo duidelijk is.
groet,

Anneke
10-12-2004