WisFaq!

Re: Re: Re: Re: Re: Wat voor soort getal is x met x^x=10

hallo Christophe

ik ben ondertussen al wat verdergekomen
van die determinant van de silvestermatrix weet ik nu
hoe ik die moet berekenen met ontwikkelen in rijen
of kolommen maar gelukkig is er een online programmatje
die het ook kan uitrekenen.
dan is het nog een hele klus om al die dubbele haakjes weg te werken maar het is me gelukt als ik tenminste geen rekenfouten heb gemaakt ga ik er van uit dat het klopt.
ik heb dus eerst de poly s in F berekend en vervolgens
F=Y+a uitgewerkt om de poly s in Y te krijgen.
(ik heb trouwens m=0 genomen omdat je bij iedere quintic
de vierde machts term zo weg kunt krijgen en dat scheelt heel wat termen)
Poly₄ in Y wordt dan:

Poly₄(Y) = 5a -2nc -3pd + 2n² -4q = 0

dus a = (-2/5 n² + 4/5 q ) + ( 2/5 n) c + (3/5 p) d

a is geelimineerd uit poly₄(Y)

nu de truuk b = ud + v en c = d + w

in vullen in poly₃(Y) en oplossen naar d geeft:

Poly₃(Y) = (-3/5 n²-19/5 p n+-3/5 p²+ n³-2n² u+

-3qn+nu²+3pu+4qu+2q+5r) d²

+ (6/5 n³ + 29/5 p n² + -22/5 q n -23/5 q p +

-6/5 n² w + -19/5 p n w + -2n²v-5pnu+ - 7rn+2n u v +

-3p² + 3pv + 3puw + 4qv + 4qw + 5rw + 5ru ) d

+ (-3/5n⁴ +12/5qn²+6/5 n³ w + -2/5q² +

-22/5 q n w + -3/5 n² w² -2n³w + 4p²n -5pnv + n v²

-3p²w + - 4rp + 3pvw +2qw²+5rv )

deze coeficienten van d nul stellen geeft uit die van d³:

(n)u² + (-2n² + 3p + 4q) u + (-3/5 n²-19/5 p n+

-3/5 p²+ n³-3qn+2q+5r) = 0

dus de u is direct te berekenen uit de algemene quintic!
de tweede drukt v uit in w:

v ( 2n² + -2n u + -3p + -4q ) =

w ( -6/5 n² + -19/5 p n + 4q + 5r + 3pu )
+ ( -5pnu + - 7rn + -3p²
+ 5ru + 6/5 n³ + 29/5 p n²
+ -22/5 q n + -23/5 q p )

de derde bekekend v en w:

(2q -3/5 n²) w² +

(6/5 n³ + -22/5 q n -2n³ -3p² + 3pv ) w +

( n v² + -5pnv + 5rv -3/5n⁴ + 12/5qn² -2/5q² + 4p²n

+ - 4rp ) = 0

nu je u v en w hebt gevonden vul je in poly₂(Y) ook
b = ud + v en c = d + w in en je krijgt inderdaad
een derdegraads vergelijking in d eruit met verder
alleen bekenden n p q r u v w !
die je gewoon op kunt lossen als je d hebt weet je b en c
ook en tenslotte ook a.
A en B van de Bring Jerrard quintic worden dan "gewoon"
getallen (het zijn wel gigantische uitdrukkingen in
a b c d n p q r u v w ).
mischien zouden matrixen handig zijn ze uit te rekenen
maar ik weet niet precies hoe die op te stellen
anders is het een kwestie van stug doorrekenen.
het enige probleem is nog de y!
ik weet dat op mijn manier (in radicalen) dit niet kan
dat heeft Abel bewezen maar het schijnt wel te kunnen met
een hypergeometrische vergelijking!
dus eerst transformeer je de bring jerrard quintic:

Y⁵ + AY + B = 0 tot (Z⁵ + Z + S = 0 leek mij)

maar ze hebben het ook vaak over Z⁵ - Z - S = 0

(hoe dat lukt als A niet kleiner is dan nul
weet ik niet.)

Y = (-A)^(1/4)Z en S= - B/[(-A)^(5/4)]

zeggen ze dan maar dan krijg ik er

Z⁵ + Z + S = 0 uit en niet Z⁵ - Z - S = 0

dat snap ik dus niet helemaal maar ze gaan verder
met iets wat ik helemaal niet begrijp:

the solution is given by considering z=z(s)
and diffrentiating z⁵-z-s=0 w.r.t(?) s four times.
(??)then equate the fourth third second zeroth
order differentials,multilied by fee parameters to zero
hmm then make the substitution s⁴=t tuurlijk
the resulting equation is a generalized hypergeometic
equation of the fuchsian type! klinkt interssesant

z:-shypergeom([3/5,2/5,1/5,4/5],[5/4,3/4,1/2],3125/256s⁴)

dit zou hem dus moeten zijn!
maar hoe doe je dat nou? of te wel hoe bereken je de z
uit z⁵-z-s=0 ? (of uit z⁵+z+s=0)
met deze hypergeometrische vergelijking
ik zou het heel graag weten want als ik dat weet...
dan ben ik er!
dan kan ik iedere vijfdegraads vergelijking oplossen
ik hoop dat je me er bij kunt helpen.

groetjes

ruben
10-12-2004

Antwoord

Hallo Ruben,

Met de substitutie
Y = (-A)^(1/4)Z en S= - B/[(-A)^(5/4)]
wordt Y⁵+AY+B=0
gelijk aan:
(-A)^(5/4)Z⁵ + A(-A)^(1/4)Z + B = 0
(-A)^(5/4)Z⁵ - (-A)^(5/4)Z + B = 0
En dan alles maal (-A)^(4/5):
Z⁵ - Z + B(-A)^(4/5) = 0
dus Z⁵ - Z - S = 0.

Wat dan verder gebeurt is het volgende: in z⁵-z-s=0 ga je z opvatten als functie van s, en je gaat vier keer afleiden naar s (Engels: with respect to s).
Eerste keer: 5z⁴z' - z' - 1 = 0
Tweede keer: 20z³z' + 5z⁴z'' - z'' = 0
Derde keer: 60z²z' + 20z³z'' + 20z³z'' + 5z⁴z''' - z''' = 0
En dan nog eens.

En blijkbaar, als je dat vier keer gedaan hebt, is hetgeen je dan uitkomt een generalized hypergeometric function of the fuchsian type.

Hoe zoiets eruitziet weet ik niet, maar dat is ook niet echt nodig: de oplossing ervan is gekend, namelijk
z= -s hypergeom([3/5,2/5,1/5,4/5],[5/4,3/4,1/2],3125/256s⁴)

Nu moet je alleen nog weten hoe je die hypergeom berekent met de gegeven argumenten... hypergeom is een bestaand maple-commando, dus daar kan je mee weg. De expliciete definitie van die hypergeom staat op deze link (onder introduction). Het zal je niet verbazen dat ook dat weer een zware boterham is.

Groeten,
Christophe.

Christophe
29-12-2004