WisFaq!

Paraboolfunctie bepalen met een raaklijn en 2 coördinaten

Hallo,

Je zal het net zien. Je bent een week aan het puzzelen, je komt er maar niet uit. Je vraagt iemand om te helpen en wat gebeurt er? Je blijft uiteraard wel zelf doorpuzzelen... en komt op het antwoord uit.

De eerste situatie die ik jullie voorschotelde is inderdaad niet op te lossen. Maar als je een liniaire functie hebt die schuin omhoog loopt waarbij de y-as gepasseerd wordt bij een positieve y-waarde, dan valt bij die liniaire functie toch één antwoord te vinden indien de bijbehorende parabool maar een bergparabool is.

Even de complete uitwerking:

f(x) = ax+b
g(x) = cx²+dx+e

Bekend is dat de RC van f(x) gelijk is aan de afgeleide van g(x) dus:

g'(x) = 2cx+d

a = 2cx+d in het punt (K,L) dus
a = 2cK+d

Verder is ook bekend dat in het punt (K,L) de 2 functies gelijk zijn. Dus:

f(x) = g(x)
ax+b = cx²+dx+e met x=K
aK + b = cK² +dK +e

Substitueren van a in deze functie:

(2cK+d)*K + b = cK²+dK+e
2cK²+dK+b = cK²+dK+e
cK²+b=e
c=(e-b)/K²

term c is nu dus bekend; e, b en K zijn bekenden dus c is opgelost.

Nu term d

We kunnen nu één punt invullen in g(x) om aan het antwoord te komen. Ik pak bekend punt (K,L)
Verder kunnen we c substitueren in de functie:

y = ax²+bx+c

L = ((e-b)/K²)K² + dK + e
L = (e-b) + dK + e
dK = -2e + b + L
d = (-2e + b + L)/K

We hebben nodig de termen a, b, c, d en e

a = RC van de f(x) en die was bekend
b = snijpunt met y-as van f(x) en die was bekend
c = (e-b)/K²
d = (-2e + b + L)/K
e = snijpunt met de y-as van g(x) en die was bekend.

Samengevat:

g(x) = (e-b)/K²*x² + (-2e + b + L)/K*x + e

Of dit alles interessant is om op de website te plaatsen, laat ik uiteraard aan jullie over. In ieder geval is het me dus toch gelukt.
Nu ben ik met een 2e parabool bezig die verder naar rechts ligt op de liniaire functie maar waarbij nu wél een dalparabool toegepast moet worden.

Hierbij ben ik er minder zeker van of het gaat lukken. Het gegeven 'snijpunt met de y-as' ontbreekt nu. Wel is een ander punt bekend maar helaas is de 'e' uit g(x)=cx²+dx+e nu niet bekend.

Ik denk wel dat het mogelijk moet zijn de functie te vinden.
In de nieuwe situatie zijn wel weer 2 punten bekend van de parabool en de raaklijn van 1 van die 2 punten. Ook is bekend dat die 2 punten aan één kant van de top liggen. Gezien bekend is dat het een kwadratische functie moet zijn, is er aan de hand van deze gegevens volgens mij toch echt maar één mogelijk antwoord. Ik ga eerst weer zelf flink aan het rekenen. Mocht ik er niet uit komen, hoop ik alsnog een beroep op jullie te kunnen doen.

Mag ik tot slot vragen welk programma jullie gebruikt hebben voor de grafiek?

Vriendelijke groeten en dank voor de hulp,

W.F. van Norel
9-12-2004

Antwoord

Ik weet niet zeker of dit de bedoeling is:
y=ax^2+bx+c en y=px+q is raaklijn aan (K,L)op de parabool.
Dus 2aK+b=p.Op dezelfde wijze als bij het vorige probleem
vinden we:
a=(c-q)/K^2 en b=p-2(c-q)/K.
Laat (M,N)een tweede punt van de parabool zijn:Dit punt
invullen met a en b als hierboven geeft een lineaire
vergelijking in c.Als di niet de bedoeling is hoor ik het graag.

kn
9-12-2004