WisFaq!

Bewijs voor alle natuurlijke getallen

n
Bewijs å(2k+1)=(n+1)² voor alle natuurlijke getallen.
k=0

Hoe moet ik dit aanpakken? Kan dat met inductie? Ik heb alleen wiskunde A12 gehad en heb nooit hoeven bewijzen, ik heb dus geen idee waar ik moet beginnen. Ik hoop dat jullie me kunnen helpen.

Lilith
7-12-2004

Antwoord

Dit is inderdaad een vraag die zich erg goed leent voor een inductiebewijs.
Laten we eerst eens kijken of de formule kan kloppen.
Als n = 1, dan staat er links 2.0 + 1 + 2.1 + 1 ofwel 4.
Rechts krijg je (1+1)² = 2² = 4, dus inderdaad hetzelfde.
Neem nu bijvoorbeeld eens n = 4. Links wordt het dan:
2.0+1 + 2.1+1 + 2.2+1 + 2.3+1 + 2.4+1 = 25 en rechts wordt het (4+1)² = 25, dus ook nu klopt het.
Het klopt dus al minstens 2 keer, en hoewel dat nog lang geen bewijs is, geeft het toch wel vertrouwen in de juistheid.

Nu het inductiebewijs.
Voor n = 1 hebben we boven al gezien dat het klopt.
Stel nu eens dat het reeds bewezen is voor alle waarden van 1 t/m n, dus vaststaat dat (2.0+1) + (2.1+1) + (2.2+1) + ....(2.n+1) = (n+1)².

Ga nu één term verder in de rij, zodat je de volgende rij krijgt: (2.0+1) + (2.1+1) + ....+ (2.n+1) + (2.(n+1)+1).
De optelsom van alle termen, uitgezonderd de laatste, is gelijk aan (n+1)², want dat was de veronderstelling.
In totaal heb je dan als optelsom voor de hele rij (n+1)² + (2.(n+1)+1) = (n+1)² + (2n+3) = (n² + 2n + 1) + (2n+3) = n² + 4n + 4, en dat is precies (n+2)².
Daarmee heb je laten zien, dat als de formule waar is voor de waarde k = n, hij ook waar is voor de waarde k = n+1
Daarmee is het bewijs rond.

MBL
7-12-2004