WisFaq!

Snijpunt lineaire functies op verticale asymptoot

Is het mogelijk om een hyperbol te maken van het quotient van 2 lineaire functies. En dit zodanig te doen dat het snijpunt van de 2 lineaire grafieken dezelfde X heeft als de Verticale asymptoot?

Bram
6-12-2004

Antwoord

Eerst even het volgende als inleiding. Als je als functie neemt f(x) = (2x - 3)/(4x - 6), dan zie je direct dat de noemer precies het dubbele is van de teller. Dat betekent dat je voor de functie kunt schrijven f(x) = 1/2 (met x ¹ 1¹/₂)
Kijk nu eens naar de getallen die in de teller en noemer staan. Dat zijn de getallen a = 2, b = -3, c = 4 en d = -6.
Merk nu op dat ad = bc.
Algemeen geldt: als f(x) = (ax+b)/(cx+d) en ad = bc, dan kun je de breuk vereenvoudigen tot een constant getal en daarmee heb je geen hyperbool, maar een horizontale rechte lijn. Bovendien zit daar ook nog eens een perforatie in, maar dat terzijde.

Nu je vraag: stel dat f(x) = (ax+b)/(cx+d) aan de eisen voldoet.
De verticale asymptoot is de lijn x = -d/c en nu wil je dat dit getal tevens de oplossing is van de vergelijking ax+b = cx+d.
Als je in dit laatste nu x = -d/c invult en je herleidt het resultaat een beetje, dan zie je dat je uitkomt op ad = bc, zodat..... Zie boven.

MBL
6-12-2004