WisFaq!

Raaklijn/parabool

EEEEJ mensen! Alles goed?

1. Bepaal de raaklijn aan f(x)=2^x in 0 en weet je wat het kleinste positieve natuurlijke getal n is waarvoor de ndemachtswortel uit 2 $\leq$1,01?

2. Bereken ³√(126) in zes decimalen via de raakparabool aan f(x)=³√x in 125.

Hulp zou heel erg gewaardeerd worden.
Gave site joh!

Doegi

teddy
5-12-2004

Antwoord

Ja, met mij is alles goed
1.)
f'(x)=ln(2)·2^x
f(0)=1, f'(0)=ln(2), dus de raaklijn heeft vergelijking y=ln(2)×x+1.
De n-demachtswortel uit 2 is 2^1/n. We hebben zo'n donkerbruin vermoeden dat n vrij groot is, dus dat 1/n dicht bij nul ligt.
We gebruiken de raaklijn in (0,1) aan de grafiek van y=2^x als benadering van f(x)=2^x in de buurt van x=0.
We willen oplossen: f(x)=1.01, we lossen op ln(2)×x+1=1,01.
Dit levert ln(2)×x=0.01, dus x=0.01/ln(2)
n=1/x =100ln(2)$\approx$69,31.
Controle:
2^1/69=1,01009
2^1/70=1,00995
Dus het kleinste natuurlijke getal waarvoor de n-demachtswortel van 2 kleiner is dan 1,01 is n=70.

2)
Het is me niet helemaal duidelijk wat jullie onder de raakparabool aan de grafiek van een functie verstaan.
Ik zal je uitleggen waarom:
De algemene gedaante van een parabool is y=ax²+bx+c.
Wil je een parabool hebben die in het punt (125,5) raakt aan de grafiek van f(x)=³√x dan heb je twee voorwaarden:
De parabool heeft het punt (125,5) gemeen met de grafiek van f, dus moet gelden: 5=a·125²+b·125+c.
De parabool heeft in het punt (125,5) een gemeenschappelijke raaklijn met f.
Omdat f'(x)=1/(3³√(x²)) is de helling van de grafiek van f in dit punt 1/75.
Er moet dan gelden: 1/75=2a·125+b.
We hebben nu twee vergelijkingen met 3 onbekenden:
5=a·125²+b·125+c en 1/75=250a+b.
Er zijn dus oneindig veel raakparabolen.
Er zou nog een derde voorwaarde bijmoeten.
Het meest voor de handliggend is te eisen dat ook geldt:
de tweede afgeleide van f en van de parabool zijn ook gelijk in (125,5).
f''(x)=-2/(9³√(x⁵), dus de tweede afgeleide van f in (125,5) is -2/28125.
Dit levert de derde vergelijking: -2/28125=2a, zodat we het stelsel:
5=a·125²+b·125+c
1/75=250a+b
-1/28125=a
krijgen.
Dit stelsel kun je oplossen en zo de vergelijking van de parabool opstellen. Vervolgens vul je x=126 in en heb je je benadering.

P.S.
Je kunt de vergelijking die je hier hebt gevonden ook afleiden met een zgn Taylorreeksontwikkeling.
Je hebt dan in dit geval de formule voor de raakparabool:
y=f(125)+f'(125)×(x-125)+¹/₂f''(125)×(x-125)². Misschien was dat wel de bedoeling.
Kom je er zo een beetje uit?

hk
5-12-2004