WisFaq!

Volledige inductie sommen

= {1, 2, 3, ...}

Toon aan:

1. Voor alle n uit geldt: åk^3 van k=1 tot n = (å k)^2 tevens k = 1 tot n.

2. Voor alle n uit geldt: å ((-1)^(k+1))/k van k=1 tot 2n = å 1/k van k=n+1 tot 2n.

Eventueel heb ik een verduidelijking in een word bestandje, die ik naar jullie toe kan mailen, wat ik tot nu toe van de som heb.

Johan
2-12-2004

Antwoord

voor de eerste:
inductiebasis (n=1): 1 = 1^2 ok
inductiestap: stel ok voor n-1, dus [som( k^3) van k=1 tot n] = [(som(k))^2 van k = 1 tot n-1]
we hebben dan
[(som(k))^2 van k = 1 tot n]
=(n + som(k)van k=1 tot n-1)^2
=n^2 + 2n [som(k) van k=1 tot n-1] + [(som(k))^2 van k = 1 tot n-1]
=n^2 + 2n [som(k) van k=1 tot n-1] + [som(k^3) van k=1 tot n-1]
=n^2 +2n[(n-1)(1+n-1)/2] + [som(k^3) van k=1 tot n-1]
=n^3 + [som(k^3) van k=1 tot n-1]
=som(k^3) van k=1 tot n

voor de tweede:
inductiebasis(n=1): 1-1/2 = 1/2 ok
inductiestap: stel ok voor (n-1), dus [som(((-1)^(k+1))/k) van k = 1 tot 2n-2] = [som(1/k) van k = n tot 2n-2]
we hebben dan
[som(((-1)^(k+1))/k) van k = 1 tot 2n]
=[som(((-1)^(k+1))/k) van k = 1 tot 2n-2] + ((-1)^(2n))/(2n-1) + ((-1)^(2n+1))/2n
=[som(1/k) van k = n tot 2n-2] + 1/(2n-1) -1/2n
=1/n + [som(1/k) van k = n+1 tot 2n-1] -1/2n
=[som(1/k) van k = n+1 tot 2n-1] + 2/2n -1/2n
=[som(1/k) van k = n+1 tot 2n-1] + 1/2n
=[som(1/k) van k = n+1 tot 2n]

Eva
8-12-2004