WisFaq!

Niet-euclidische meetkunde

Een persoon leeft in het noordelijkste puntje van een bolvormige planeet (aarde) en denkt 2-dimensionaal en weet dus niet van het bestaan af van hoe de planeet van binnen eruit ziet. De persoon loopt in zuid-westelijke richting, dan koerst hij evenwijdig aan de evenaar en tenslotte loopt hij weer naar zijn thuisfront. De weg die de persoon loopt beschrijft 3 geodeten, waarvan 2 zich snijden in de lokatie van het thuisfront. Wat is de oppervlakte binnen de looproute van de persoon?
Alvast bedankt.

Richard
30-11-2004

Antwoord

Vreemde aangelegenheid... op het noordelijkste puntje staan... en dan in zuidwestelijke richting lopen? Ik zou denken dat dat niet kan... je kunt alleen maar naar het zuiden lopen!

Maar goed... we lopen een eind naar het zuiden... dan evenwijdig... aan de evenaar... evenwijdig aan de evenaar? Is dat volgens een parallel? Nee toch? Want dan is het geen geodeet (grootcirkel).

Dus... op deze manier:



Kortom, een boldriehoek! Volgens mijn 'Geometry from a Differentiable Viewpoint' (pag.4) geldt:

Proposition 1.2 On a sphere of radius R, a triangle DABC with interior angles a, b, g has area given by:
area(DABC)=R²(a+b+g-p)

Tada... volgens mij moet je er nu wel kunnen komen.

Zie ook: In een boldriehoek is de som van de hoeken altijd groter dan 180 graden.

WvR
2-12-2004