WisFaq!

Natuurlijke getallen

Voor een opgave moet ik bewijzen dat de n-de macht van ieder natuurlijk getal k kan worden geschreven als een lineaire combinatie van n+1 machten van k-1.

Dit is vraag c van de opgave. a had betrekking op de driehoek van Pascal, die ik begrijp. Bij b moest ik 3⁵ schrijven in de vorm ax⁵ + bx⁴ + cx³ + dx² + ex + f. Ook dat is gelukt door voor x 2 in te vullen en de letters te vervangen door de coefficienten uit de driehoek.

Maar hoe bewijs ik nu bovengenoemde stelling? Ik mis hier nog een link om de opgave volledig af te kunnen maken...

Ingrid

Ingrid
29-11-2004

Antwoord

Hallo, Ingrid.
Gebruik dat k = (k-1)+1, dus
kⁿ = ((k-1)+1)ⁿ.
Gebruik nu het binomium van Newton om (a+b)ⁿ te berekenen, dus (a+b)ⁿ = å_i=0ⁿ (n boven i) aⁱb^n-i.
Vul nu in a=k-1 en b=1.

hr
29-11-2004