WisFaq!

Piramide

Hallo
Ik ben bezig met een oefening voor wiskunde maar ik zit een beetje vast.
Gegeven is de piramide met grondvlak ABCD met A(3,-3,0) B(3,3,0) C(-3,3,0) en D(-3,-3,0) en top T(0,0,6) in een orthonormaal assenstelsel. Gegeven is ook het punt P(2,0,2) en Q(-2,0,2).
De vraag is: Bepaal de kortste weg van P naar Q. Ze zeggen er wel bij dat je over TB en TC moet, want je moet ook de coördinaten van het punt R op TB en het punt S op TC bepalen.
Een hint die ze geven in: Druk uit dat de afstand van PR + de afstand van RS + de afstand van SQ minimaal moet zijn.
Ik heb dus eerst en vooral aantgetoond dat P in het voorvlak TAB ligt en dat Q in het achtervlak TDC ligt. Dan heb ik ook de parametervoorstelingen van de rechten TB en TC bepaald.
Het punt R dat op TB ligt heeft dan als coördinaten (r,r, 6-2r) en het punt S dat op TC ligt heeft als coördinaten
(-s,s,6-2s). Maar nu zit ik dus vast. Ik heb geprobeerd om met de afstandformule te doen wat ze als hint geven, maar ik geraak helemaal in de knoei, kunnen jullie mij een tip geven?
Bedankt!
Joke

Joke
28-11-2004

Antwoord

Dag Joke

Omwille van de symmetrie mogen we de parameters r en s gelijk nemen. De punten R en S zullen namelijk symmetrisch liggen ten opzichte van het yz-vlak.

Dus co(P)=(2,0,2) ; co(R)=(r,r,6-2r) ; co(S)=(-r,r,6-2r) ; co(Q)=(-2,0,2)

Schrijf nu f(x) = |PR|+|RS|+ |SQ| als een functie van r.
Dit wordt een niet al te ingewikkelde irrationale functie.
Bereken de afgeleide van f(x).
Je zult vinden dat deze functie een minimum heeft als r=⁴/₃.

LL
28-11-2004