WisFaq!

Dichtheid bij exponentiele verdeling

Hallo,
ik wil graag de volgende vraag oplossen.
Zij Y een exponentieel verdeelde stochast met parameter l=2. De stochast X is met kans 1/2 verdeeld als Y en met kans 1/2 verdeeld als -Y.

1)Toon aan dat de dichtheid Fx(x) van X gelijk is aan:
fx(x) = exp{-2|x|}, - ¥ x ¥ met |x| de absolute waarde van x.

2)Bereken P{X² 1/4}

Er zijn meer vragen maar als ik deze 2 (vooraal de 2e) zou kunnen beantwoorden , en begrijpen dus... dan zou ik de andere wel zelf kunnen oplossen hoop ik?

Voor vraag 1 begrijp ik dat ze dus met exp "e tot de macht" bedoelen. Ik weet dat de dichtheid bij een exponentiele verdeling Exp(l) gelijk is aan:
fl(x) = l exp{-lx} voor x tussen -¥ en ¥ ?? Moet ik dit gebruiken?

Voor vraag 2) Moet ik gebruik maken van een grafiek met de opp. , zoals ik heb gelezen bij sommige vragen op deze site? Maar ik heb dit niet staan in mijn dictaat? Misschien een andere manier?

Hoop dat u me verder kunt helpen.

Mvg,

Dejan Tunic
27-11-2004

Antwoord

Dejan.
Als Y neg.exp.verdeeld is metpar.l dan is de dichtheid
p(y)=0 voorx0 en p(y)=le^-lx voor x0.
Eerst vraag 2: P(X²¹/₄)=P(X¹/₂)+P(X-¹/₂).
Wegens de symmetrie zijn deze beide kansen even groot.
P(X¹/₂)=òe^-2xdx, grenzen van 1/2 naar¥.
Dit geeft 1/(2e).Dus de gevraagde kans is 1/e.

Hoe vinden we de dichtheid van X uit die van Y.
X is wel geconcentreerd op R.Het is wegens de symmetrie direct in te zien dat de dichtheid van X is p(x)=e^-2/x/,
voor beide kanten de helft van p(y).Een formele afleiding is ook wel mogelijk, b.v.
Neem z0;de P(Xz)=P(Xz/X=-Y)1/2+P(Xz/X=Y)1/2=
¹/₂P(Y-z) + 0= enz.

Hopelijk lukt het u verder zo.

kn
27-11-2004