WisFaq!

Tweede afgeleide bepalen en integreren

Hallo,

Onderstaande is een stuk uitleg van een opdracht die ik moet maken. Ik zie niet waar de ² van de d²z / dt² vandaan komen.
Waarom is de eerste afgeleide niet goed genoeg, en hoe kom ik aan v₀ - gt?

-mg = ma

Hierin is a de versnelling, die gelijk is aan de tweede afgeleide van de plaats naar de tijd, dus a = d²z / dt².
De snelheid v wordt gegeven door de eerste afgeleide: v = dz / dt. We zien in -mg = ma dat de massa (m) eruit valt en we houden over:

d²z / dt² = -g

Omdat g constant is, kunnen we deze differentiaalvergelijking supergemakkelijk integreren. Daarvoor zijn nodig de positie (z) en snelheid op tijdstip t=0. Daarvan weten we z(0) = 0. De beginsnelheid noteren we als v(0) = V₀ Als we d²z / dt² = -g één keer integreren vinden we de snelheid:

v(t) = v₀ - gt


Alvast bedankt.

Stefan

Stefan
25-11-2004

Antwoord

F = ma is de wet van Newton, daar kom je niet onderuit. Ze beschrijft hoe voorwerpen bewegen, gegeven bepaalde krachten die er op in werken. a, de versnelling, is nu eenmaal de afgeleide van de snelheid naar de tijd, die op zijn beurt de afgeleide van de plaats naar de tijd is. De versnelling is dus de tweede afgeleide van de plaats naar de tijd, genoteerd d²z/dt².

In jouw voorbeeld is F = -mg, de zwaartekracht. De wet van Newton wordt dan

ma = -mg
a = -g
dv/dt = -g

of na integreren

v(t) = -gt + C

waarbij C volgt uit het feit dat v(0) gelijk moet zijn aan v0 dus C=v0

Zelf bekijk ik dat integreren liever zo

dv = -gdt

en dan beide leden integreren (linkerlid naar v, rechterlid naar t) tussen twee situaties:

situatie 1: t=0 v=v0
situatie 2: t=t v=v(t)

zodat

v-v0 = -g(t-0)
v = -gt + v0

cl
25-11-2004