WisFaq!

Hoek aan baan

hallo,
ik kom niet uit de volgende vraag en hoop dan ook dat u mij kunt helpen. b.v.d
voor een punt P gelden de volgende bewegingsvergelijkingen:
x(t)=4cos(t-$\phi$)
y(t)=4sin2t
t in seconden, x en y in cm
a) bereken voor $\phi$=0 de hoek waaronder de baan zichzelf snijdt.
b)Voor welke waarde van $\phi$ snijdt de baan zichzelf op de y-as onder een hoek van 90 graden?

bob
21-11-2004

Antwoord

a)
Voor $\phi$=0 geldt:
x=4cos(t) en y=4sin(2t)
Voor t=¹/₂$\pi$ geldt: x=0 en y=0 (ga na)
Voor t=1¹/₂$\pi$ geldt ook x=0 en y=0 (ga na)

We bepalen nu x'(t)=-4sin(t) en y'=8cos(2t)

Voor t=¹/₂$\pi$ geldt: x'=-4 en y'=-8 (ga na).
De richtingscoefficient van de raaklijn in het punt met t=¹/₂ is dus y'/x'=2.

Voor t=1¹/₂$\pi$ geldt: x'=4 en y'=-8 (ga na).
De richtingscoefficient van de raaklijn in het punt met t=¹/₂ is dus y'/x'=-2.
Bepaal nu de hoek tussen de raaklijnen met r.c. 2 en -2.

b)
Wil de kromme zichzelf op de y-as snijden dan zul je eerst uit moeten zoeken voor welke waarden van t de kromme de y-as snijdt.
We lossen dus op: x=0
Dus 4cos(t-$\phi$)=0 $\Rightarrow$
t-$\phi$=¹/₂$\pi$ of t-$\phi$=1¹/₂$\pi$
t=$\phi$+¹/₂$\pi$ of t=$\phi$+1¹/₂$\pi$

Als t=$\phi$+¹/₂$\pi$ dan y=4sin(2$\phi$+$\pi$)=-2sin(2$\phi$)
Als t=$\phi$+1¹/₂$\pi$ dan y=4sin(2$\phi$+3$\pi$)=-2sin(2$\phi$)
De kromme snijdt zichzelf dus.

We bepalen weer x'=-4sin(t-$\phi$) en y'=8cos(2t).
Als t=$\phi$+¹/₂$\pi$ dan: x'=-4sin(¹/₂$\pi$)=-4
y'=-8cos(2$\phi$+$\pi$)=8cos(2$\phi$)
y'/x'=-2cos(2$\phi$)

Als t=$\phi$+1¹/₂$\pi$ dan: x'=-4sin(1¹/₂$\pi$)=4
y'=-8cos(2$\phi$+3$\pi$)=-8cos(2$\phi$)
y'/x'=2cos(2$\phi$)

Voor loodrechte stand moet het product van de richtingcoefficienten -1 zijn
We krijgen dan:
-2cos(2$\phi$)·2cos(2$\phi$)=-1, dus
-4cos²(2$\phi$)=-1, dus cos²(2$\phi$)=1/4
Hieruit volgt
cos(2$\phi$)=1/2 of cos(2$\phi$)=-¹/₂
Verder zal het dan wel lukken hoop ik!

hk
21-11-2004