WisFaq!

Kromme van Viviani

Hallo wisfaq,

Vandaag kregen we een opdracht, maar het wil helemaal niet vlotten.

Gegeven: de sfeer met middelpunt in de oorsprong en straal R en de omwentelingscilinder met als as de rechte parallel met de Z-as door het punt (R/2,0,0;), en met straal
R/2;

Gevraagd: bepaal een parametervergelijking van de doorsnijdingskromme van deze twee oppervlakken en stel deze kromme, samen met de twee gegeven oppervlakken, grafisch voor, voor R=10.

Mijn vraag gaat niet specifiek over het grafisch voorstellen (moest trouwens via Maple), maar wel over de methode.

Dus volgens mij is de doorsnede van omwentelingscilinder en de sfeer de kromme van Viviani. Eerst heb ik dan de parametervergelijking van beiden opgesteld en dan de cartesische van de sfeer (x^2+y^2+z^2 = R^2 want door oorsprong) en later hierin de parametervgl van de omwcilinder hierin gesubstitueerd. Na deze substitutie en uitwerking door ontbinden in factoren en goniometreische formules kom ik aan volgende vergelijking: R^2*sin(1/2*u)^2+V^2 = R^2
Maar het vervolg van het verhaal kan ik niet verzinnen.

Zou u me alstublieft kunnen helpen. Veel dank bij voorbaat.

Jos
17-11-2004

Antwoord

Hoi Jos,

De cartetische vergelijking van de cillinder is:
(x-R/2)^2+y^2=(R/2)^2, en dus:
y^2=xR-x^2, je kan dit nu in de cartetische vergelijking van de bol invullen om de volgende vergelijking te krijgen:
(x/R)+(z/R)^2=1 en dit heeft als oplossing:
x=R*cos(u)^2, z=R*sin(u), nu vinden we de y coordinaat door x in y^2=xR-x^2 in te vullen en dit levert na het gebruiken van de goniometrische formules:
y=R*sin(2*u)/2, x=R*cos(u)^2, z=R*sin(u).
Ik hoor het graag als er verder problemen zijn.

Zie Kromme Viviani [http://www.pandd.demon.nl/rhino/viviani.htm]

CW
19-11-2004