WisFaq!

Ellips ivm Apollonius

Ik moet een eigenschap bewijzen van Apollonius. Op een ellips E nemen we de op de grote as en aan dezelfde kant van het middelpunt het brandpunt F en de top P. De loodlijn in F op de grote as snijdt E in Q en Q'. We nemen ook een willekeurug punt D, element van de ellips E, met D is niet P en noemen D' zijn projectie op de grote as. Bewijs dat de opp. v/e vierkant met afmeting |DD'|kleiner is dan de opp v/e rechthoek met afmetingen |QQ'| en |PD|.
Alvast bedankt en groeten uit België

Alexander
15-11-2004

Antwoord

Het is een vraag over Analytische Meetkunde, dus we gaan rekenen.
De ellips heeft vergelijking (x/a)²+(y/b)²=1, dus dan heeft men P(a,0), F(c,0) met c²+b²=a², Q(c,b²/a).
Voor een willekeurig punt D(x,y) op de ellips moeten we bewijzen dat y²(2b²/a)Ö((x-a)²+y²).
Gebruikt men (x/a)²+(y/b)²=1, dus y²=b²(1-x²/a²), dan gaat de te bewijzen ongelijkheid over in een ongelijkheid waar y niet meer in voor komt, maar alleen x (en a en b).
U moet dan nog bewijzen dat deze nieuwe ongelijkheid geldt voor -axa.
Succes ermee.

hr
22-11-2004