WisFaq!

Bewijzen van ongelijkheid a+b+c=pi dus

hoi hoi hoi
kan iemand me een tip geven bij het oplossen van deze opgave:

a,b en c zijn hoeken van een driehoek. Bewijs

8sin(a/2)sin(b/2)sin(c/2)=Wortel(cos((a-b)/2)cos((b-c)/2)cos((c-a)/2))

ik weet al dat
8sin(a/2)sin(b/2)sin(c/2)=2(cosa+cosb+cosc-1) (I)
=8cos((a+b)/2)cos((b+c)/2)cos((c+a)/2) (II)

(I) Deze volgt uit het factoriseren van cosa+cosb+cosc-cos(a+b+c)
(II) deze volgt uit: als x/2=pi/2 -y/2 dat sin(x/2)=sin((pi/2-y/2)=cos(y/2)

alvast bedankt

Zuric
7-11-2004

Antwoord

Je vergelijking (I) kun je schrijven als
cos(a) + cos(b) + cos(c) = 1 + 4sin(^a/₂)sin(^b/₂)sin(^c/₂)

De formule die je in (II) vermeldt pas je enkel toe op sin(^c/₂)

Vermits a+b+c = p geldt ook dat cos(c) = -cos(a+b)

Je krijgt dus
cos(a) + cos(b) - cos(a+b) = 1 + 4sin(^a/₂)sin(^b/₂)cos(^a+b/₂)

Pas in het linkerlid op de eerste twee termen de formule van Simpson toe.
Schrijf de derde term als cos[2.(^a+b/₂)] en gebruik de formule cos2a = 2cos²a-1.

Zonder nu de gemeenschappelijke factoren af en pas op wat tussen de haakjes overblijft opnieuw de formule van Simpson toe.

Je bekomt zo het rechterlid.

LL
7-11-2004