Hallo,
Hebben jullie enig idee hoe ik met vectoren moet bewijzen dat dat de diagonalen van een parallellogram elkaar middendoor snijden? (mijn vraag is eigenlijk hoe ik het te bewijzen "door 1 punt" moet uitdrukken met vectoren)
Bedankt!
Kirikiri
6-11-2004
Gegeven een parallellogram OABC.
OA=a, OC=c. (ik laat pijltjes en streepjes weg).
Deze vectoren zijn lineair onafhankelijk en vormen een basis.
Voor diagonaal OB hebben we de vectorvoorstelling: x=l(a+c)=la+lc
Voor diagonaal AC hebben we de vectorvoorstelling x=a+m(a-c)=(1+m)a-mc
Vanwege de onafhankelijkheid van a en c moet in het snijpunt S gelden:
l=1+m
l=-m
Uit dit stelsel volgt: 1+m=-m, dus 2m=-1, dus m=-1/2 en l=1/2
Dus OS=1/2(a+c).
Hieruit volgt direct dat S het midden is van OB.
Is S ook het midden van AC:
Volgens de vectorvoorstelling van AC geldt:
OS=a-1/2(a-c)=a+1/2(c-a)=OA+1/2AC.
Dus AS=1/2AC. Ja dus.
hk
6-11-2004
#29593 - Bewijzen - 3de graad ASO