WisFaq!

Omtrek van raaklijnenvierhoek

Gegeven is een cirkel met straal 3.5 en middelpunt M. De raaklijnen vormen een vierhoek ABCD. Aan de bovenkant van de cirkel is |DC|=9 en onderaan |AB|=6, |DA| en |CB| zijn onbekend. Nu moet ik de omtrek van de raalijnenvierhoek berekenen.

Met de eigenschap: de lengte van de raaklijnen vanuit een punt buiten cirkel is gelijk weet ik dat:

De afstand van D tot het raakpunt op [DC] gelijk is aan die van D tot aan het raakpunt op [DA]. Dat de afstand van A tot de raakpunt op [DA] en de afstand van A tot het raakpunt op [AB] gelijk is. En dus ook de afstand vanuit C naar de raakpunten op [DC] en [BC].

En ik ken ook de eigenschap: een raaklijn in een punt van de cirkel staat loodrecht op de middellijn door het raakpunt. Ik heb al geprobeerd met cos en tan van 90° om zo DM en daaruit DS te vinden.Maar dan kom ik nul uit om door te delen en dat gaat dus niet.

Ik zie maar niet hoedat ik DA en CB zou kunnen vinden.
(Het was misschien duidelijker geweest om dit te vragen met een tekening maar dat kan ik ook niet,sorry.)

Alvast bedankt!

België
2-11-2004

Antwoord

Nochtans ben je heel dicht bij het (verrassend eenvoudige) antwoord.

Teken nogmaals de raaklijnenvierhoek. De zijden worden in twee in het algemeen ongelijke stukken gedeeld door de raakpunten. Door de eerste eigenschap die je noemt vallen de 8 stukken uiteen in 4 paren met lengte w, x, y en z.

De omtrek wordt gegeven door 2(w+x+y+z). We kunnen w, x, y en z niet meteen berekenen (daarvoor zijn er zelfs te weinig gegevens denk ik), maar we hebben die waarden niet afzonderlijk nodig, enkel hun som!

Ga nu eens na hoe de gegeven lengtes |AB| en |CD| zich vertalen in termen van w, x, y en z.

Zie je het licht?

cl
2-11-2004