WisFaq!

Oneigenlijk integraal (convergent, divergent)

Hoe los ik de volgende som op?

Voor welke waarden van p is de volgende oneigenlijke integraal convergent en divergent?
(integraal van 0 tot 1)̣t^pln(t)dt

Ik heb dit eerst geschreven als de integraal van t tot 1 waarbij t van boven tot nul nadert. Hierna heb ik de primitieve bepaald mbv partieel integreren. Hierna zou ik toch moeten kijken voor welke waarden van t de limiet bestaat? Toch kom ik er niet uit.
Het antwoord is trouwens: convergent voor p -1, divergent voor p .

Alvast bedankt.

Jaap
2-11-2004

Antwoord

Hallo Jaap,

Tot dat partieel integreren ging het goed, en dan moet je kijken voor welke p-waarden je iets eindig of oneindig uitkomt.
̣t^pln(t)dt
= 1/(p+1) ̣ln(t)d(t^p+1) als p ¹ -1 (anders deel je door nul)
= 1/(p+1) [t^p+1ln(t)]¹₀ - 1/(p+1)̣t^p+1(1/t)dt
= 1/(p+1) [t^p+1ln(t)]¹₀ - 1/(p+1)²[t^p+1]¹₀

Wat die eerste term betreft: voor p-1 staat daar voor t=0:
0*(-¥)
Dus moet je dat herschrijven naar
ln(t)/t^-p-1
en de limiet voor t naar nul berekenen met de l'Hôpital, dat zal nul worden, dus eindig.

Voor p-1 zal die eerste term van de vorm (-¥)/0 zijn, dus min oneindig.

De tweede term dan: 1 kan je altijd invullen, dat blijft eindig, 0 kan je alleen invullen als p-1. Als p-1 krijg je weer min oneindig.

Conclusie:
Als p-1 zijn beide termen eindig.

Als p=-1 kan je de integraal anders aanpakken:
̣1/t ln(t)dt = ̣ln(t)d(ln(t)) = (ln(t))²/2 en als je hierin t=0 invult krijg je iets oneindigs, dus de integraal wordt 0²/2-¥=-¥.

Als p-1 dan worden beide termen en dus ook de hele integraal min oneindig. Een andere manier om dat in te zien steunt op het geval p=-1 en gaat als volgt:
t^pt^-1
t^pln(t)t^-1ln(t) want 0t1 dus ln(t)0
̣t^pln(t)̣t^-1ln(t)=-¥
Dus ook voor p-1 wordt de integraal min oneindig (divergeert).

Groeten,
Christophe.

Christophe
2-11-2004