WisFaq!

Reeks van functies, uniforme convergentie

Dag iedereeeeen,

Ik zit met een probleempje. Ik moet bewijzen dat de volgende reeks uniform convergeert op elk compact interval binnen $\mathbf{R}$.

$\sum$(-1)ⁿsin(1+(x/n))/$\sqrt{ }$(n) n=1,...,$\to\infty$

Ik heb de indruk dat al mijn kenmerken niet toepasbaar zijn of zo... Abel? Dirichlet? Dini?
Weet iemand iets anders?

Groetjes,

Koen (km)

Koen
1-11-2004

Antwoord

Hallo Koen!

Overgelopen naar de vub?

Die reeks: kan dat niet met Abel? Ik neem even de formulering over van wolfram:

u_n(x)=(-1)ⁿsin(1+(x/n))/$\sqrt{ }$(n)
a_n=(-1)ⁿ/$\sqrt{ }$(n)
f_n(x)=sin(1+(x/n))

$\sum$(a_n) is convergent wegens het criterium van Leibniz

Voor alle positieve x is f_n(x) monotoon dalend vanaf een zekere N (namelijk kies N zodat x/N $<$ $\pi$/2 - 1.
Voor negatieve x is f_n(x) wel monotoon stijgend, das jammer... Maar dan kan je even kijken naar f'=sin(1)-sin(1+(x/n)), die daalt dan weer wel en is strikt positief vanaf bepaalde N. Dus als je die f' invult, is u uniform convergent, maar ook voor f''=sin(1) is u uniform convergent, dus ook voor f=f''-f' zal u wel uniform convergent zijn zeker? (ben ik niet echt zeker van, en tziet er ook niet zo mooi uit)

f_n(x) is begrensd: voor elke x ligt die tussen 0 en 1 vanaf bepaalde n, ofwel voor elke x ligt die tussen -1 en 1.

En das genoeg om te besluiten dat de reeks uniform convergeert op elk compact interval van $\mathbf{R}$.

Khoop dat ik niks over het hoofd heb gezien, want tis toch alweer een tijdje geleden...

Greetz!

Christophe
2-11-2004