WisFaq!

Periode van breuken

Ik heb nog een vraag over de periode van breuken met een niet-priemgetal als noemer. Ik heb ontdekt dat van sommige breuken (o.a. 1/14, 1/21, 1/26, 1/28, 1/34, 1/35, 1/38, 1/39, 1/42, 1/46) de periode als volgt te berekenen is: de
hoogste priemfactor - 1. Zo kom je dus bij bijvoorbeeld 1/46 met behulp van 2 · 3 · 7 op de periode 6.

Kun je met een formule uitrekenen welke breuken (met welke noemers) deze eigenschap ook hebben? Hoe kun je voor andere breuken met een niet-priemgetal als noemer de periode bepalen? Of misschien zit ik wel helemaal op het verkeerde spoor? Kortom: hoe bepaal je de periode van breuken met een niet-priemgetal als noemer?

Stefan Hopmans
29-4-2002

Antwoord

Als je uitgaat van de onvereenvoudigbare breuk t/n (t = teller en n = noemer), dan kun je het aantal repeterende cijfers als volgt bepalen.
Laat uit de noemer n alle factoren 2 en 5 weg (dat zijn de delers van het getal 10).
Het getal dat overblijft noemen we r.
Nu moet je het kleinste getal j bepalen waarvoor
10^j - 1 deelbaar is door r.
Het gezochte aantal bedraagt j.

Voorbeeld: neem de breuk 5/7 = 0,714285 714285 ....
dus er repeteren steeds 6 cijfers.
De noemer van je breuk is 7, en dat getal bevat geen factoren 2 en 5.
Het bedoelde getal r is dus ook gelijk aan 7.
Controleer nu met je rekenmachine dat 10⁶ - 1 inderdaad door 7 deelbaar is, terwijl de deling niet lukt als je de exponent 6 verandert in een kleinere waarde.

Tweede voorbeeld: neem de breuk 21/44 = 0,477272727...
Er repeteren dus 2 cijfers, namelijk de 2 en de 7.
Laat uit 44 alle factoren 2 en 5 weg (5 komt niet voor); je houdt over 11 en dat is dus ons getal r.
Bepaal nu de kleinste waarde waarbij 10^j-1 deelbaar is door 11.
Voor j = 2 krijg je 99 en dat is inderdaad deelbaar door 11.

Derde en laatste voorbeeld: neem de breuk 23/70
Laat uit 70 alle factoren 2 en 5 weg; je houdt dan r = 7 over.
Bepaal nu de eerste j waarvoor 10^j-1 deelbaar is door 7.
Dat blijkt te zijn j = 6, want (1000000 - 1)/7 = 142857
Er moeten dus 6 repeterende cijfers zijn.
Inderdaad is 23/70 = 0,3 285714 285714 ...

MBL
29-4-2002