WisFaq!

Re: Re: Re: Re: Wat voor soort getal is x met x^x=10

hallo Chistophe

het verhaal van Y=t.k
om Y⁵+AY+A=0 te transformeren naar t⁵+t+B/(A^(5/4))=0
snap ik ik heb het nog gecontroleerd door
Y⁵+16Y+32=0 te transformeren op die manier en je krijgt t⁵+t+1=0
en k=2
(de vierdemachts wortel uit 16) omdat ze beide te ontbinden zijn (Y²+2Y+4)(Y³-2Y²+8)=0 en
(t²+t+1)(t³-t²+8)=0
los je ze beide op met cardano dan blijkt Y=2.t
inderdaad te kloppen. alleen begrijp ik niet wat die "magic forumla" mag_(-B/(A^(5/4))=t
nu precies inhoud. of te wel hoe bereken je de t uit t⁵+t=C
waarin C een willekeurige constante voorsteld dus in die gevallen waarin niet zo mooi te ontbinden is. wel ik ontdekt dat
t⁵+c⁴.t+c⁵=0 altijd oplosbaar is. t= ³Ö(P+Q) + ³Ö (-P+Q) + 1/3.C
met P = (Ö23.C³)/(6Ö3)
en
Q = (-25.C³)/54
[er zijn er nog wel meer bv
t⁵-5C⁴+3C⁵=0

of ook
t⁵-(5/16)C⁴+(-1/8)C⁵=0 ]

maar die krijg ik niet , wel heb ik Y⁵+AY+B=0
kunnen omvormen in t⁵+(A⁵/B⁴).t +(A⁵/B⁴) = 0
in de vorm t⁵+Ct+C=0 dus
ook
t⁵+Ct⁴+C=0
en
t⁵+t⁴+C=0
kan ik krijgen maar het helpt me niet
om t op te lossen hoe zit het nou met die magic formula?
de rest van het algemene verhaal snap ik wel dat als
je de coeficienten a b d c en y hebt berekend dan
ben je er wel de rest is dan simpel.
maar ik begrijp helaas nog steeds niet hoe je die
resultante moet vinden van X⁵+mX⁴+nX³+pX²+qX+r
en
X⁴+dX³+cX³+bX+a+Y
om te komen tot de quintic in Y
Y⁵+poly₄.Y⁴+poly₃.Y³+poly₂.Y²+AY+B = 0
hoe vind je nu die resultante?
iets met Y= f(x)/h(x) een breuk van veeltermen
zijn f(x) en h(x)
soms de quintic en quartic in X ?
moet je een staart deling maken dan?
ik begrijp het nog steeds niet helemaalz
hoe je dan poly₄ poly₃ en poly₂ nul stelt snap ik dan
weer wel uit die polynomials bereken je dus
de a b c en d als ik goed begrijp en uit
de Bring-Jerrard quintic de y toch?
domme vraag mischien maar de x is in poly 2 3 en 4
al volledig verdwenen neem ik aan en de coeficienten
A en B zijn toch ook poly s in a b c en d? maar die kun
je dan berekenen doordat je a b c en d al uit
poly₄,poly₃ en poly₂
hebt gehaald zodat je die kunt gebruiken om Y te bereken
met de Bring-Jerrard quintic klopt dat?
ik vind het wel jammer dat het me niet lukt om die
resultante te vinden want aan het spannende werk,
poly₄ oplossen naar a en voor b en c stellen dat
b = alfa.d + xi
en
c = d + eta
en uit eindelijk kun je d berekenen uit een derdegraads
vergelijking in d
,kom ik dan helemaal niet toe
kun je me mischien nog ietje meer uitleggen
hoe ik die resultante of wel de quintic in y kan vinden?
die rus vind het "can be done easily with the resultant"
best makkelijk maar volgens mij is het best wel
heel moeilijk toch?
ik zou het heel graag weten
groetjes ruben

ruben
28-10-2004

Antwoord

Hallo Ruben,

Eerst iets heel cruciaals: je vraagt hoe je die 'magic function' moet uitwerken. Wel, dat kan dus niet! Was het niet Galois die dat bewezen heeft? Maar de nulpunten van een algemene ndegraadspolynoom met n4 zijn niet te vinden. Met algemeen bedoel ik: noem de coëfficiënten A,B,... en geef een uitdrukking voor de nulpunten in functie van die A,B,...

Dat kan dus wel voor eerstegraads, tweedegraads (discriminant), derdegraads (Cardano), vierdegraads (Ferrari), en ook voor niet-algemene hogeregraads, bijvoorbeeld reciproke veeltermen van graad 6 of zo, of de voorbeelden die je zelf geeft. Maar voor de algemene vijfdegraads zoals je hier zou willen, lukt het dus niet. En ook voor die speciale vijfdegraads, nl. t^5+t=C, lukt het niet.

De bedoeling van de hele uitwerking is nu een nulpunt te vinden van een vijfdegraads, maar waarbij je in die uitdrukking alleen gebruik maakt van gekende functies (zoals worteltrekken en zo), PLUS die magic function. Je voegt dus als het ware even die magic function toe aan je arsenaal elementaire functies...

Dan die resultante: blijkbaar is de resultante van twee polynomen gelijk aan het product van het verschil van de wortels. Dus de resultante van (x-a)(x-b) en (x-c)(x-d)(x-e) wordt:
(a-c)(a-d)(a-e)(b-c)(b-d)(b-e)

Je hebt echter de waarde van de nulpunten niet nodig om die resultante op te stellen (gelukkig maar, want je bent net op zoek naar die nulpunten, dus heb je ze nog niet). Wat je ook kan doen is de sylvestermatrix opstellen, zoals uitgelegd op deze site.

Als je dat wil toepassen op X^5+mX^4+nX^3+pX^2+qX+r
en
X^4+dX^3+cX^3+bX+a+Y
dan krijg je een 9*9-matrix, meer bepaald:
0 0 0 1 m n p q r
0 0 1 m n p q r 0
0 1 m n p q r 0 0
1 m n p q r 0 0 0
0 0 0 0 1 d c b f
0 0 0 1 d c b f 0
0 0 1 d c b f 0 0
0 1 d c b f 0 0 0
1 d c b f 0 0 0 0
(ik heb hier even f gebruikt voor a+y, dat oogt mooier in die matrix)

De determinant van deze matrix is nu de resultante, en dat zal inderdaad een vijfdegraadsveelterm in y worden, met coëfficiënten die afhangen van a,b,c,d,m,n,p,q,r. Die a,b,c,d moeten er nog uit natuurlijk, en dat wordt dan gedaan door die Poly's allemaal nul te stellen.

De x komt dus inderdaad niet meer voor vanaf het moment dat je met de resultante begint te werken, enkel nog a,b,c,d (die moeten eruit), m,n,p,q,r (die moeten blijven) en y(die kan je dan op het einde vervangen door -x^4-dx³-cx²-bx-a).

Als je deze techniek wil toepassen op een voorbeeld hoop ik maar dat je maple of zo ter beschikking hebt, want een 9*9-determinant, daar kan je toch een tijdje aan rekenen...

Nog succes ermee, en vooral met dat "spannende werk"!

Groeten,
Christophe.

Christophe
30-10-2004