WisFaq!

Moeilijk geval rekenen met complexe getallen

Beste wisfaq,

Ik ben mijn tentamen Calculus voor morgen aan het voorbereiden en ik kom éen opgave tegen die ik niet kan beantwoorden. Deze luidt:

|z-i|²(z-i)³ = -i

Bij de meeste opgaven heb ik wel een plan van aanpak, maar hier kom ik niet verder dan 'z-1' A te noemen, maar dan?

Als u me hierbij zou kunnen helpen: heel graag!

Groetjes,

Loran

Loran de Vries
28-10-2004

Antwoord

Hallo,

NB: onderaan (vanaf het vetgedrukte Nogal omslachtig) staat een eenvoudigere oplossingswijze...

Stel eens z-i = A = a+bi
Dan staat er eigenlijk: |A|²A³=-i
Of nog: (a²+b²)(a³+3a²bi-3ab²-b³i)=-i
Dus (a⁵-3a³b²+a³b²-3ab⁴)+i(3a⁴b-a²b³+3a²b³-b⁵) = 0-1i
Dus een stelsel:
a⁵-3a³b²+a³b²-3ab⁴=0
3a⁴b-a²b³+3a²b³-b⁵=-1

Eerste vergelijking: je kan a voorop plaatsen, dus a=0 (en dan volgens de tweede vergelijking -b⁵=-1 dus b=1. En inderdaad: z-i=-i is een oplossing want |-i|²(-i)³=-i.)

a=0 ofwel a⁴-2a²b²-3b⁴=0. Deel door a⁴ (dat mag want a is niet nul) en noem t=b²/a², dan krijg je een kwadratische vergelijking in t, namelijk:
-3t²-2t+1=0 met oplossingen t=2 en t=-2/3. Dat laatste mag je vergeten want t=b²/a²0.

Dus er rest nog t=b²/a²=2 of dus a²=b²/2. Vul dit in in de tweede vergelijking van het stelsel, je krijgt:
3b⁵/4+b⁵-b⁵=-1
Dus b⁵-4/3.
Dan moet je daaruit nog even a berekenen en eens a en b in het stelsel invullen om te zien of het klopt.

Nogal omslachtig allemaal, dus misschien is het eenvoudiger eerst even te redeneren. |A|²A³=-i. Stel A=re^iq (polaire of goniometrische voorstelling), dan komt dit neer op:
r²r³e^3iq = -i = e^3pi/2
Dus r⁵ = 1
en 3q = 3p/2 + 2kp

Dus r=1 en q=p/2 of 7p/6 of 11p/6
We vinden dus ook hier weer drie oplossingen, waarvan de eerste A=i (dus z=2i)

Groeten,
Christophe.

Christophe
28-10-2004