WisFaq!

Pi

ik heb een probleem. Ik ben de opgaven in het boekje pi van frits Beukers aan het maken, maar kom uit sommige opgaven helemaal niet. Zo snap ik de som 2.3.3. niet. Hier staat:
We gaan onderzoeken waarom de formules uit de vorige paragraaf gelden. We maken hierbij gebruik van gonioformules:
sin2x=2sinxcosx en cos2x=2(cosx)²-1

1. Leidt uit bovenstaande formules af dat
   (cos2x/sin2x)+ (1/sin2x)=(cosx/sinx)
   en daar weer uit,
   (1/tan2x)+ (1/sin2x) = (1/tanx)
2. Vul in bovenstaande formule x= pi/2N in en deel beide zijden door 2N. Gebruik de formules Pn=N sin(pi/n) en Qn=Ntan(pi/n) om te laten zien dat uit onderdeel (a) volgt,
   1/2((1/Qn)+1/Pn)=1/Q2n
   Laat nu zien dat Q2n = (2PnQn)/(Pn+Qn)
3. Gebruik de gonioformule voor sin2x om te laten zien dat:
   ( sinx)² = (sin2x/2) · (sinx/cosx)
4. Vul in voorgaand resultaat x = pi/2N en vermenigvuldig beide zeiden met (2n)². Laat zien dat hieruit volgt, P2n²=PnQ2n.

Ik heb zoal meer sommen gemaakt en nu loop ik weer vast bij 4.4.1 en daarna gaat het weer en dan loop ik vast bij 5.5.1

Kunt u mij alstublieft helpen bij deze sommen, of mij verwijzen naar een Nederlandse site, waar de sommen uitgewerk op staan of ik hulp krijg bij de sommen.

Groeten

Ellen
25-10-2004

Antwoord

Dag Ellen,

a) Je substitueert sin(2x) en cos(2x) door hun resp formules (de twee die je geeft). We krijgen:

cos(2x)/(sin(2x))+1/(sin(2x))=cos(x)/(sin(x))

(merk op dat in het linker lid de twee breuken gelijke noemers hebben. Leuk!)
we voeren de substitutie uit in het linkerlid:

(2cos²(x)-1+1)/(2sin(x)cos(x))=cos(x)/sin(x)

nu kunnen we schrappen!

cos(x)/sin(x)=cos(x)/sin(x)
en de oefening is bewezen.

Als je weet dat tan(2x)=sin(2x)/cos(2x), dan is het tweede deel van a) meteen duidelijk.

b) zie verder..

c)We vullen weer de formule in:
sin²(x)=(2sin(x)cos(x))·sin(x)/(2·cos(x))

Schrappen en de sinussen met elkaar vermenigvuldigen geeft het gevraagde.

d) en b)

Je formules zijn wel verwarrend opgeschreven! Ik veronderstel dat je met n en N hetzelfde bedoeld.

voor b) krijgen we dan:
1/[2N·tan(pi/N)] + 1/[2N·sin(pi/N)] = 1/[(2N)·tan(pi/(2N))]

en verder uitwerken geeft wat je moet bewijzen.

voor d) dezelfde procedure...

Nu zou het moeten lukken!

av
26-10-2004